二次方程式與多項式

未知數的最高次方是二的方程式，就是一元二次方程式。它單獨佔一章的原因是：它是最後一族永遠服從一條背得下來的公式的方程式。在它之上的一切 —— 三次、四次、五次 —— 要麼碰運氣因式分解，要麼用數值方法解。

解它的路有三條，而且並不能互相替換。每條回答的問題略有不同，知道該伸手拿哪條，就是這門本事的大半。

怎麼用因式分解解一元二次方程式？

把所有東西挪到一邊，拆成兩個括號，再輪流讓每個括號等於零。x² + 5x + 6 = 0 分解成 (x + 2)(x + 3) = 0，所以 x = −2 或 x = −3。

找的是兩個數：乘起來是常數項，加起來是中間的係數 —— 這裡是 2 和 3，因為 2 × 3 = 6 而 2 + 3 = 5。應用程式裡因式分解解二次方程式這一課，把這場搜尋練到不假思索為止，因為人們慢就慢在這一步。

讓每個括號等於零之所以行，靠的是數的一條熟到沒人注意的性質：兩樣東西乘起來是零，其中至少一個就是零。算術裡沒有別的東西這樣表現 —— 兩個數乘成 12 的方式有無窮多種，可是乘成 0 只能靠其中一個是 0。這就是整個方法堅持先把方程式弄成等於零的原因。

分解不動的時候怎麼辦？

用公式解：x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a，不管分解得動分解不動，它解每一個二次方程式。值得把它當一個整體學，而不是四個符號，二次方程式的公式解這一課把它一項一項拆開，讓 ± 和 2a 不再顯得憑空。

2x² + 3x − 4 = 0 → x = (−3 ± √(9 + 32)) / 4 = (−3 ± √41) / 4。

現實裡的二次方程式大多分解不動。整數因式分解是一個又小又走運的子集 —— 這就是課本習題裡滿是它們、物理問題裡幾乎沒有的原因。

公式解是從哪裡來的？

它就是配方法，在一般方程式上做一次，而不是在每道題上各做一遍。這就是它全部的出身，推導公式解把這場推導走得夠慢，讓公式變成一個你能重建的東西，而不是一個只能信的東西。

配方法把 x² + 6x − 1 改寫成 (x + 3)² − 10：把 6 減半得到括號裡的 3，再減去括號順手帶進來的那個 9，連同原來的 −1。配方法這一課讓「減半」這一步顯得必然，而不是變魔術。

為什麼減半？因為 (x + p)² 展開是 x² + 2px + p²。中間那一項出來的永遠是 p 的兩倍，所以想湊出 6x 的中間項，就得讓 p = 3。你在補的那個方塊是真的方塊 —— 一塊 p 乘 p 的角磚，把一塊 L 形的地補完整 —— 這幅圖，也是這門技術比它現在的記號老了一千歲的原因。

改寫後的形式比根更值錢。(x + 3)² − 10 一眼就說出：最小值是 −10，在 x = −3 取到 —— 因為一個平方括號永遠不是負的，而且恰好取一次零。

一元二次方程式有幾個解，能在解之前知道嗎？

能 —— 算出 b² − 4ac，也就是判別式，不用把計算做完你就知道答案。正的代表兩個不同的根，零代表一個重根，負的代表根本沒有實根。判別式與根的性質是講這個的課，對付「證明此方程式無實數解」這種考題，它是這一頁上最有用的一件東西。

同一個量還回答一個看起來不相干的問題：一個二次式會不會取到負值。要是 a 是正的、判別式是負的，拋物線整個坐在軸的上方，這個式子對每個實數 x 都恆為正 —— 這件事在證明裡、在檢查一個模型不會算出胡話時，用個不停。

兩個根加起來是多少？

加起來是 −b/a，乘起來是 c/a，兩個都能不解方程式、直接從方程式上讀下來。根的和與積講清了為什麼：把 a(x − α)(x − β) 展開、對上 ax² + bx + c，這兩條關係就被逼出來了。

這反過來成了一件造方程式的工具。知道想要的根，就能倒著把方程式搭出來 —— 這正是構造二次方程式講的：要一個根是 2 和 −5 的方程式，寫下 x² − (和)x + (積) = x² + 3x − 10，一條公式都不用碰。

它還能往上走。三次方程式有三個根，滿足三條對應的關係；三次方程式的根與係數把規律延伸上去，變換多項式的根展示隨之而來的那一招：要找根是原來兩倍的方程式，原來的根從頭到尾都不需要。

一元二次不等式怎麼解？

先找根，再決定要它們的哪一側。對 x² − x − 6 < 0，根是 −2 和 3，開口向上的拋物線只在兩根之間沉到軸下面，所以答案是 −2 < x < 3。解一元二次不等式教的是先畫草圖的習慣 —— 碰上難題還站得住的，是這一個。

那條誘人的近路 —— 兩邊同除、當成一次不等式搬弄 —— 之所以失敗，是因為你除的那個東西的符號取決於 x，而除以負數會翻轉不等號。草圖把整個問題繞開了：曲線要麼在軸上方要麼在軸下方，你只是在讀哪一段 x 做哪件事。

同樣的小心也適用於分式不等式，那裡分母會變號；不知道符號就兩邊乘上去，是造出一個信心十足的錯誤答案的經典路徑。

一條直線什麼時候穿過、相切、錯過一條曲線？

把直線代進曲線，讀代出來的那個二次方程式的判別式。兩個解代表直線穿過曲線兩次，一個解代表它是切線，沒有解代表完全錯過 —— 直線與曲線相交、相切或錯過這一課把三種代數結果和三幅圖連起來。

走到那一步需要代入本身，那是一次方程式與二次方程式聯立的主題：把一次方程式整理出一個變數，代進二次方程式，解出剩下的單變數方程式。相切是值得反覆排練的那一種，因為「這條直線是切線」是一句幾何句子，它的代數翻譯恰好是「判別式等於零」。

會變成二次方程式的方程式

許多長得一點不像二次方程式的方程式，一次整理之後就成了二次方程式。去掉分母，分式方程式變成二次方程式；兩邊平方，帶根號的方程式也一樣。

這兩個動作都可能造出從未存在過的解。平方是危險的那個：x = −2 是假的，可是兩邊一平方，x² = 4 就成真了。平方後的方程式比你出發時那句是更弱的陳述，所以它容得下多餘的答案。這就是根式方程式永遠以驗根收尾的原因 —— 把每個候選答案代回去不是勤快，是方法本身的一部分。

二項式定理是什麼？

它是不乘開就展開一個括號乘冪的辦法。(1 + x)⁵ = 1 + 5x + 10x² + 10x³ + 5x⁴ + x⁵，係數 1、5、10、10、5、1 正是你預料中的巴斯卡三角形那一列。二項式定理講清它們從哪裡來，而不是要你把三角形背下來。

把 (1 + x)⁵ 乘開，意思是從五個括號裡各挑一個 1 或一個 x，把每種可能的結果都加起來。一個 x² 的項，恰好出現在你從兩個括號裡挑了 x、從另外三個裡挑了 1 的時候 —— 而挑哪兩個有十種挑法。這就是係數是組合數的原因：它們真的是在數選擇。

這條定理接著越過整數次方，從那裡起它不再是代數上的方便，而成了近似工具。負指數和分數指數的二項級數把 √(1 + x) 和 1/(1 + x) 這樣的東西變成對小 x 精確的無窮級數，展開 (a + bx) 的有理數次方處理括號不巧不以 1 開頭的情形 —— 先把 a 提出來，適用條件也跟著一起來。

三次多項式怎麼因式分解？

先試出一個根，再把它除出去。把 x = 2 代進一個多項式得到零，那 (x − 2) 就是它的因式，除一下，三次就降成了你已經會收尾的二次。因式定理與餘式定理是讓這一切名正言順的那句話，它還告訴你代入不等於零時剩下的是什麼：你得到的值恰好就是餘式。

試哪些根不是碰運氣 —— 多項式的係數都是整數的話，任何整數根都必須整除常數項，所以一個以 −6 結尾的三次式，只有 ±1、±2、±3、±6 值得一試。

要是沒有精確答案呢？

把方程式改寫成 x = g(x) 的形狀，從一個粗糙的猜測出發，把每次的輸出餵回去當下一次的輸入。數值通常會安頓下來，不再變的那些位就是對的位。迭代解方程式講這個方法，更要緊的是講它什麼時候失靈 —— 同一個方程式的一些改寫收斂得飛快，另一些直奔無窮遠，哪個是哪個，事先看不出來。

這件事比它初看上去要緊。四次以上不存在一般的根式解公式，所以迭代不是懶人的退路：對實務裡冒出來的大多數多項式方程式，它就是方法。

值得點名的錯誤

在應用程式裡好好學

Math Challenge 把二次方程式教成一條配圖的階梯，而不是一張公式表 —— 上面連到的每一課都是一小屏：一幅圖、一道做出來的例題、幾道試一試，它們住在一套從數數一路修到微積分的 800 多課課程目錄裡。從這裡自然的下一步是方程式的圖形與座標幾何 —— 同一條拋物線從另一側看 —— 和函數與分式函數（英文），配方法在那裡以圖形變換的身分再次登場。

輪到你了

三題試一試，點選作答。

因式分解 x² − 9

(x − 2)(x + 5) = 0 的根

x² + 6x + 9 =

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