प्रायिकता और संयुक्त घटनाएँ

अद्यतन 2 नवंबर 2026

प्रायिकता स्कूली गणित की वह अकेली शाखा है जहाँ सही हिसाब बार-बार किसी मज़बूत सहज-बुद्धि से टकराता है — और ग़लत प्रायः वही सहज-बुद्धि निकलती है। इसीलिए इसे सावधानी से करना असाधारण रूप से फ़ायदेमंद है। अंकगणित आसान है; मुश्किल हमेशा यह ठीक-ठीक कहने में है कि आप पूछ किस घटना के बारे में रहे हैं।

प्रायिकता नापती क्या है?

प्रायिकता यह मापती है कि कोई बात कितनी संभावित है, 0 से — असंभव — 1 तक — निश्चित — एक संख्या के रूप में। जब हर परिणाम समसंभाव्य हो, तो यह उन परिणामों की संख्या है जिनमें घटना घटती है, कुल परिणामों की संख्या से भाग देकर। एक निष्पक्ष पासे के छह पहलू होते हैं, और तीन सम हैं, तो सम संख्या की प्रायिकता $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$3/6 = 1/2 है। देखिए प्रायिकता का पैमाना, जो असंभावित और बराबर मौक़ा जैसे शब्दों को उसी रेखा पर रखता है। यह भिन्न इसलिए चलती है क्योंकि हर समसंभाव्य परिणाम निश्चितता का बराबर हिस्सा ढोता है। जब परिणाम समसंभाव्य न हों, जैसे ड्राइंग-पिन का नोक ऊपर गिरना, तो क़दम बदल जाते हैं: तब प्रायिकता का अंदाज़ा आज़माइशों से लगाया जाता है, सफलताएँ बटा कोशिशें। किसी घटना के न घटने की संभावना, उसके घटने की संभावना का 1 में से घटाव है, तो छक्का न आने की संभावना $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$1 − 1/6 = 5/6 है। सारे परिणामों की प्रायिकताएँ जोड़कर 1 बननी चाहिए: $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$1/2 + 1/2 = 1।

संख्या पाने के लिए यह गिनाना पड़ता है कि क्या-क्या हो सकता था। प्रतिदर्श समष्टि हर परिणाम लिख डालने का अनुशासन है, और यही वह क़दम है जिसे लोग छोड़ते हैं और फिर पछताते हैं: दो पासों की प्रतिदर्श समष्टि में 36 प्रविष्टियाँ हैं, 11 नहीं — 3 और 4 वाला परिणाम 4 और 3 वाले से अलग है।

फिर एक घटना की प्रायिकता भाग देता है — अनुकूल परिणाम बटा कुल परिणाम — उस शर्त समेत जो इस भाग को जायज़ बनाती है: परिणाम समसंभाव्य होने चाहिए। पूरक घटनाएँ किसी चीज़ के न होने वाले सवाल को उसके होने वाले सवाल में बदल देती हैं।

सिद्धांत के बजाय प्रयोग से प्रायिकता

प्रायोगिक प्रायिकता उन परिणामों को सँभालती है जो गिने नहीं जा सकते।

बड़ी संख्याओं का नियम कहता है कि वह अंदाज़ा सधता जाता है: परीक्षण जितने ज़्यादा, सापेक्ष बारंबारता सच्ची प्रायिकता के उतने क़रीब बैठती जाती है।

संभावना से प्रत्याशित गिनतियाँ इसे उलटी दिशा में चलाता है: प्रायिकता को परीक्षणों की गिनती से गुणा करके बताइए कि चीज़ को कितनी बार घटना चाहिए। पासे के बीस फेंक क़रीब तीन-चार छक्के देने चाहिए — और उसमें और जो हुआ उसमें का फ़ासला ठीक वही मात्रा है जिसे आगे हर सांख्यिकीय परीक्षण नापता है।

एक साथ दो घटनाएँ कैसे सँभालें?

एक साथ दो घटनाओं को सँभालने के लिए, उन्हें इस तरह खींचिए कि हर परिणाम की एक जगह हो। एक वेन आरेख दो घटनाओं को किसी बक्से के भीतर आपस में मिलते वृत्तों के रूप में दिखाता है, परिणामों को चार क्षेत्रों में बाँटते हुए: सिर्फ़ A, सिर्फ़ B, दोनों, और कोई नहीं। देखिए वेन आरेख के क्षेत्रों के नाम। 30 की एक कक्षा में, मान लीजिए 12 फ़ुटबॉल खेलते हैं, 10 टेनिस खेलते हैं, और 4 दोनों खेलते हैं। तो 8 सिर्फ़ फ़ुटबॉल खेलते हैं, 6 सिर्फ़ टेनिस, और 30 − 8 − 6 − 4 = 12 कोई नहीं खेलते। बेतरतीब चुने गए किसी छात्र के कोई खेल खेलने की प्रायिकता $\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$18/30 = 3/5 है। ये क्षेत्र कभी नहीं मिलते और मिलकर सबको ढक लेते हैं, तो हर छात्र ठीक एक बार गिना जाता है। दोनों जोड़ों को जोड़ना बीच वाले हिस्से को दो बार गिनता है, इसीलिए 12 + 10 = 22, खेलने वाले 18 से ज़्यादा दिखाता है; ओवरलैप को एक बार घटाइए। आरेख की पुष्टि के लिए, चारों क्षेत्रों को कक्षा में वापस जोड़िए: 8 + 6 + 4 + 12 = 30।

संभावना-जालक दो-चरण वाले प्रयोगों का जाली-रूप है — एक चरण के परिणाम ऊपर, दूसरे के बग़ल में। दो पासे 6 × 6 की जाली बन जाते हैं जहाँ 7 बनाने वाले ख़ाने सचमुच गिने जा सकते हैं, और क्षेत्रफलों से संभावना वही विचार सतत सूरतों तक बढ़ाता है, जहाँ प्रायिकता गिनती के बजाय क्षेत्रफलों का अनुपात बन जाती है।

परस्पर अपवर्जी घटनाएँ वह शर्त है जिसके तहत सीधे जोड़ सकते हैं: दो घटनाएँ साथ नहीं घट सकतीं, तो एक या दूसरी की संभावना उनका योग है। जब वे चढ़ सकती हों, चढ़ती घटनाओं का जोड़-नियम ओवरलैप एक बार घटा देता है: P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B)।

स्वतंत्र घटनाएँ वह शर्त है जिसके तहत सीधे गुणा कर सकते हैं: एक घटना का परिणाम दूसरी की संभावना नहीं छूता, तो दोनों की प्रायिकता गुणनफल है। दो उछालें स्वतंत्र हैं; बिना वापसी खींचे दो पत्ते नहीं।

वृक्ष आरेख कैसे चलते हैं?

एक वृक्ष आरेख घटनाओं का एक क्रम दिखाता है, हर चरण के लिए डालों का एक सेट और हर डाल पर एक प्रायिकता के साथ। किसी शृंखला की संभावना के लिए किसी रास्ते के साथ-साथ गुणा कीजिए, और सवाल का जवाब देने वाले रास्ते जोड़ लीजिए। एक थैले में 2 लाल और 3 नीले काउंटर हैं; एक निकाला जाता है, वापस रख दिया जाता है, और दूसरा निकाला जाता है। दोनों लाल की प्रायिकता $\frac{2}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{4}{25}$2/5 × 2/5 = 4/25 है। हर रंग का एक-एक आना दो तरह से हो सकता है, तो दोनों रास्ते जोड़िए: $\frac{2}{5}\times \frac{3}{5}+\frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{12}{25}$2/5 × 3/5 + 3/5 × 2/5 = 12/25। देखिए वृक्ष आरेख। गुणा करना इसलिए चलता है क्योंकि दूसरा चरण उन मामलों के एक हिस्से में होता है जो पहला छोड़ता है। जोड़ना इसलिए चलता है क्योंकि अलग-अलग रास्ते साथ नहीं हो सकते। अगर काउंटर वापस न रखा जाए, तो दूसरी डालें बदल जाती हैं: एक लाल के बाद, 4 काउंटरों में 1 लाल बचता है, तो दोनों लाल बनता है $\frac{2}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$2/5 × 1/4 = 1/10। हर बिंदु से निकली डालें जोड़कर 1 बनती हैं, और सारे रास्ते भी: $\frac{4}{25}+\frac{12}{25}+\frac{9}{25}=1$4/25 + 12/25 + 9/25 = 1।

कम से कम एक की संभावना पहला बड़ा फल है। “तीन फेंकों में कम से कम एक छक्का” सात रास्तों में फैला है; “एक भी छक्का नहीं” एक रास्ता है। $1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^3\approx 0.42$1 − (5/6)³ ≈ 0.42. लंबा रास्ता ग़लत नहीं है — वह बस एक मामला खो देने का न्योता है।

फिर डालें बदलने लगती हैं। बिना वापसी वह हालात है जहाँ एक चीज़ उठाने से बचा हुआ बदल जाता है, तो दूसरी परत के भिन्न पहली से अलग होते हैं — और डाल-दर-डाल अलग। बिना वापसी वृक्ष के साथ गुणा पूरा हिसाब चलाकर दिखाता है।

थैले में 5 लाल और 3 नीली। P(दोनों लाल$)=\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{20}{56}$) = 5/8 × 4/7 = 20/56. हर इसलिए गिरा कि एक गेंद जा चुकी है; अंश इसलिए कि जो गई वह लाल थी।

सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है?

सप्रतिबंध प्रायिकता एक घटना की वह प्रायिकता है जो मानकर चलती है कि दूसरी घट चुकी है, तो प्रतिदर्श समष्टि सिकुड़कर उन परिणामों की रह जाती है जहाँ दी हुई घटना घटी। सप्रतिबंध प्रायिकता यह सिकुड़न दिखाता है, और सप्रतिबंध प्रायिकता की लिखावट उसे लिख देता है: $P\left(A|B\right)=P\left(A\cap B\right)$P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)। एक निष्पक्ष पासा फेंकिए और मान लीजिए आपको बताया जाए कि नतीजा सम है। सिर्फ़ 2, 4 और 6 बचते हैं, तो सम नतीजे को मानते हुए 4 आने की संभावना $\frac{1}{3}$1/3 है, $\frac{1}{6}$1/6 नहीं। सूत्र से, $\frac{1}{6}÷\frac{3}{6}=\frac{1}{3}$1/6 ÷ 3/6 = 1/3। भाग देना छोटी प्रतिदर्श समष्टि को इस तरह फिर नापता है कि उसकी प्रायिकताएँ फिर से जुड़कर 1 बनें। क्रम मायने रखता है: 4 को मानते हुए नतीजे के सम होने की संभावना 1 है, क्योंकि हर 4 सम है, जबकि सम नतीजे को मानते हुए 4 आने की संभावना $\frac{1}{3}$1/3 है। किसी वृक्ष आरेख में, दूसरे चरण की हर डाल पहले से ही एक सप्रतिबंध प्रायिकता है। बचे हुए तीन परिणामों को पूरी प्रायिकता बाँटनी होती है: $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$1/3 + 1/3 + 1/3 = 1।

इस सूत्र को भाग की तरह नहीं, पाबंदी की तरह पढ़िए। अंश वे परिणाम गिनता है जहाँ दोनों घटे; हर नई, छोटी दुनिया का हर परिणाम गिनता है। दोतरफ़ा सारणी पर यह अकेले एक स्तंभ के भीतर पढ़ना और बाक़ी को अनदेखा करना है, और बारंबारता-वृक्ष चार्ट और प्रदर्शनों की गाइड (अंग्रेज़ी में) में है।

स्वतंत्रता को असली परिभाषा यहीं मिलती है: A और B स्वतंत्र ठीक तब हैं जब P(A | B) = P(A) — B जानने से कुछ नहीं बदलता।

मशहूर पहेलियाँ सबको क्यों पकड़ लेती हैं?

मशहूर प्रायिकता की पहेलियाँ लोगों को इसलिए फँसाती हैं क्योंकि हर एक में एक शर्त छिपी है जिसे सहज उत्तर अनदेखा कर देता है। मॉन्टी हॉल की पहेली में तीन दरवाज़े और एक इनाम है। आप एक दरवाज़ा चुनते हैं, मेज़बान बिना इनाम वाला दूसरा दरवाज़ा खोलता है, और आप बदल सकते हैं। बदलना तीन में से दो बार जिताता है। आपकी पहली चुनाव $\frac{1}{3}$1/3 प्रायिकता से सही है, और मेज़बान का क़दम उसे नहीं बदलता, तो दूसरा बंद दरवाज़ा बचा हुआ $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$1 − 1/3 = 2/3 ढोता है। छिपी हुई शर्त यह है कि मेज़बान जानता है इनाम कहाँ है और उसे कभी नहीं खोलता; बेतरतीब दरवाज़ा खोलने वाला मेज़बान बराबर मौक़ा छोड़ देता। मामले गिनाना इसे साफ़ कर देता है: इनाम दरवाज़ा 1 के पीछे रखकर, हर दरवाज़ा बारी-बारी चुनने पर, बदलना एक बार हारता है और दो बार जिताता है। जन्मदिन का विरोधाभास एक गिनती छिपाता है: 23 लोग 23 × 22 ÷ 2 = 253 जोड़ियाँ बनाते हैं, और हर जोड़ी का जन्मदिन साझा हो सकता है। मॉन्टी हॉल के हिस्से पूरे इनाम को ढकते हैं: $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$1/3 + 2/3 = 1।

मॉन्टी हॉल की पहेली: मेज़बान जानता है इनाम कहाँ है, और यह जानकारी दो-तिहाई को उस बंद दरवाज़े पर ले आती है।

जन्मदिन का विरोधाभास: 23 लोगों के कमरे में दो का जन्मदिन साझा होना, न होने से ज़्यादा संभावित है। सहज-बुद्धि आपको बाक़ी 22 से मिलाती है; घटना हर जोड़ी को मिलाती है। इसे "सबके अलग-अलग" की संभावना 1 में से घटाकर निकालना — $\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times \dots$365/365 × 364/365 × 363/365 × … — ढहान को आँखों के सामने ला देता है।

पॉज़िटिव जाँच के बाद भी स्वस्थ क्यों वह है जिसके नतीजे कक्षा के बाहर हैं। 1,000 में 1 को लगने वाली बीमारी और दोनों दिशाओं में 99% सटीक जाँच लेकर 100,000 लोग गुज़ारिए: बीमार 100 में से क़रीब 99 पॉज़िटिव आते हैं, और स्वस्थ 99,900 में से क़रीब 999 भी पॉज़िटिव आ जाते हैं। पॉज़िटिव नतीजा क़रीब 9% बार सही है।

वृक्ष को उलटना: आधार-दर का उत्तर इसके पीछे की आम विधि है। वृक्ष घटनाओं के घटने के क्रम में बनाइए, फिर उसे उलटा पढ़िए: “जाँच पॉज़िटिव आई, तो बीमारी की संभावना क्या” का उत्तर है एक काम का रास्ता बटा पॉज़िटिव पर ख़त्म होने वाले सारे रास्ते। यही बेज़ का प्रमेय है — सूत्र से नहीं, गिनकर पहुँचा हुआ।

ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

• साथ घट सकने वाली घटनाओं की प्रायिकताएँ जोड़ना। ओवरलैप घटाइए, वरना वह दो बार गिना गया।
• अस्वतंत्र घटनाओं पर गुणा करना। बिना वापसी में दूसरा भिन्न बदलना ही चाहिए।
• ऐसे परिणाम गिनाना जो समसंभाव्य नहीं। दो पासों के 36 समसंभाव्य परिणाम हैं; उनके 11 संभव योग समसंभाव्य नहीं।
• झड़ी के बाद कुछ “बनता है” मानना। स्वतंत्र परीक्षणों की याददाश्त नहीं होती। अनुपात घुलकर सधता है, सुधरकर नहीं।
• P(A | B) की P(B | A) से अदला-बदली। यही आधार-दर की भूल है — इस विषय की सबसे नतीजाख़ेज़ ग़लती।
• “कम से कम एक” को मामला-दर-मामला गिनना। पूरक बरतिए; लंबा रास्ता एक डाल खो देता है।

यह आगे कहाँ ले जाता है

प्रतिदर्श समष्टि बड़ी होते ही परिणाम गिनाना नामुमकिन हो जाता है, और इलाज है बिना गिनाए गिनना — क्रमचय, संचय और उन्हें जमाने वाली समुच्चय-लिखावट, समुच्चय, गणन और बंटनों की गाइड (अंग्रेज़ी में) में, जो दोहराए परीक्षणों को द्विपद बंटन भी बनाती है। देखी बारंबारता से आबादी के बारे में दावा करना प्रतिचयन और आगमन की गाइड (अंग्रेज़ी में) है। और जिस भिन्न-अंकगणित पर हर वृक्ष आरेख दौड़ता है, वह भिन्नों की गाइड में है।