प्रायिकता और संयुक्त घटनाएँ

प्रायिकता स्कूली गणित की वह अकेली शाखा है जहाँ सही हिसाब बार-बार किसी मज़बूत सहज-बुद्धि से टकराता है — और ग़लत प्रायः वही सहज-बुद्धि निकलती है। इसीलिए इसे सावधानी से करना असाधारण रूप से फ़ायदेमंद है। अंकगणित आसान है; मुश्किल हमेशा यह ठीक-ठीक कहने में है कि आप पूछ किस घटना के बारे में रहे हैं।

प्रायिकता नापती क्या है?

परिणामों का वह हिस्सा जिनमें बात घटती है — 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के पैमाने पर। प्रायिकता का पैमाना रोज़मर्रा की भाषा को उसी रेखा पर बिठाता है — असंभावित, बराबर मौक़ा, लगभग तय — शब्दों की जगह संख्याएँ रखने का पहला क़दम यही है।

संख्या पाने के लिए यह गिनाना पड़ता है कि क्या-क्या हो सकता था। प्रतिदर्श समष्टि हर परिणाम लिख डालने का अनुशासन है, और यही वह क़दम है जिसे लोग छोड़ते हैं और फिर पछताते हैं: दो पासों की प्रतिदर्श समष्टि में 36 प्रविष्टियाँ हैं, 11 नहीं — 3 और 4 वाला परिणाम 4 और 3 वाले से अलग है।

फिर एक घटना की प्रायिकता भाग देता है — अनुकूल परिणाम बटा कुल परिणाम — उस शर्त समेत जो इस भाग को जायज़ बनाती है: परिणाम समसंभाव्य होने चाहिए। पूरक घटनाएँ हर सवाल का दूसरा आधा देती हैं: किसी चीज़ के न होने की संभावना 1 घटा होने की संभावना है — और यह पलटा इस पन्ने के किसी भी दूसरे अकेले विचार से ज़्यादा सवाल हल करता है।

सिद्धांत के बजाय प्रयोग से प्रायिकता

हर हालात में गिनने लायक़ समसंभाव्य परिणाम नहीं होते। ड्राइंग-पिन में नहीं होते। प्रायोगिक प्रायिकता संभावना का अंदाज़ा देखी हुई बारंबारता से लगाती है — जितनी बार हुआ, बटा जितनी बार आज़माया।

बड़ी संख्याओं का नियम कहता है कि वह अंदाज़ा सधता जाता है: परीक्षण जितने ज़्यादा, सापेक्ष बारंबारता सच्ची प्रायिकता के उतने क़रीब बैठती जाती है।

संभावना से प्रत्याशित गिनतियाँ इसे उलटी दिशा में चलाता है: प्रायिकता को परीक्षणों की गिनती से गुणा करके बताइए कि चीज़ को कितनी बार घटना चाहिए। पासे के बीस फेंक क़रीब तीन-चार छक्के देने चाहिए — और उसमें और जो हुआ उसमें का फ़ासला ठीक वही मात्रा है जिसे आगे हर सांख्यिकीय परीक्षण नापता है।

एक साथ दो घटनाएँ कैसे सँभालें?

उन्हें खींच लीजिए। वेन आरेख के क्षेत्रों के नाम नक़्शा है: सिर्फ़ A, सिर्फ़ B, दोनों, और कोई नहीं — चार क्षेत्र जो सब कुछ गिन लेते हैं, और प्रायिकता की ज़्यादातर उलझन यह कह न पाना है कि चारों में से कौन-सा मुराद है।

संभावना-जालक दो-चरण वाले प्रयोगों का जाली-रूप है — एक चरण के परिणाम ऊपर, दूसरे के बग़ल में। दो पासे 6 × 6 की जाली बन जाते हैं जहाँ 7 बनाने वाले ख़ाने सचमुच गिने जा सकते हैं, और क्षेत्रफलों से संभावना वही विचार सतत सूरतों तक बढ़ाता है, जहाँ प्रायिकता गिनती के बजाय क्षेत्रफलों का अनुपात बन जाती है।

परस्पर अपवर्जी घटनाएँ वह शर्त है जिसके तहत सीधे जोड़ सकते हैं: दो घटनाएँ साथ नहीं घट सकतीं, तो एक या दूसरी की संभावना उनका योग है। जब वे चढ़ सकती हों, जोड़ दो बार गिनता है — और चढ़ती घटनाओं का जोड़-नियम ओवरलैप एक बार घटा देता है: P(A या B) = P(A) + P(B) − P(A और B)।

स्वतंत्र घटनाएँ वह शर्त है जिसके तहत सीधे गुणा कर सकते हैं: एक घटना का परिणाम दूसरी की संभावना नहीं छूता, तो दोनों की प्रायिकता गुणनफल है। दो उछालें स्वतंत्र हैं; बिना वापसी खींचे दो पत्ते नहीं।

वृक्ष आरेख कैसे चलते हैं?

हर डाल एक प्रायिकता ढोती है, किसी रास्ते के साथ-साथ गुणा करने पर उस पूरी शृंखला की संभावना मिलती है, और सवाल को जँचते रास्ते जोड़ लिए जाते हैं। वृक्ष आरेख यह मशीनरी स्वतंत्र चरणों पर जमाता है, जहाँ हर परत की प्रायिकताएँ एक-सी रहती हैं।

कम से कम एक की संभावना पहला बड़ा फल है। “तीन फेंकों में कम से कम एक छक्का” सात रास्तों में फैला है; “एक भी छक्का नहीं” एक रास्ता है। $1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^3\approx 0.42$1 − (5/6)³ ≈ 0.42. लंबा रास्ता ग़लत नहीं है — वह बस एक मामला खो देने का न्योता है।

फिर डालें बदलने लगती हैं। बिना वापसी वह हालात है जहाँ एक चीज़ उठाने से बचा हुआ बदल जाता है, तो दूसरी परत के भिन्न पहली से अलग होते हैं — और डाल-दर-डाल अलग। बिना वापसी वृक्ष के साथ गुणा पूरा हिसाब चलाकर दिखाता है।

थैले में 5 लाल और 3 नीली। P(दोनों लाल) = 5/8 × 4/7 = 20/56. हर इसलिए गिरा कि एक गेंद जा चुकी है; अंश इसलिए कि जो गई वह लाल थी।

सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है?

एक घटना की प्रायिकता, यह मानते हुए कि दूसरी घट चुकी है — जिसका मतलब है कि प्रतिदर्श समष्टि सिकुड़कर सिर्फ़ उन परिणामों की रह गई है जहाँ दी हुई घटना घटी। सप्रतिबंध प्रायिकता वही सिकुड़न सीधे सिखाता है, और सप्रतिबंध प्रायिकता की लिखावट उसे लिख देता है: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)।

इस सूत्र को भाग की तरह नहीं, पाबंदी की तरह पढ़िए। अंश वे परिणाम गिनता है जहाँ दोनों घटे; हर नई, छोटी दुनिया का हर परिणाम। दोतरफ़ा सारणी पर यह अकेले एक स्तंभ के भीतर पढ़ना और बाक़ी को अनदेखा करना है — बारंबारता सारणियाँ और सप्रतिबंध प्रायिकता प्रायः साथ इसीलिए पढ़ाई जाती हैं, और बारंबारता-वृक्ष चार्ट और प्रदर्शनों की गाइड (अंग्रेज़ी में) में इसीलिए है।

स्वतंत्रता को असली परिभाषा यहीं मिलती है: A और B स्वतंत्र ठीक तब हैं जब P(A | B) = P(A) — B जानने से कुछ नहीं बदलता।

मशहूर पहेलियाँ सबको क्यों पकड़ लेती हैं?

क्योंकि हर एक में एक शर्त छिपी है जिसे सहज उत्तर अनदेखा कर देता है।

मॉन्टी हॉल की पहेली: तीन दरवाज़े, एक इनाम, आप एक चुनते हैं, मेज़बान एक हारने वाला दरवाज़ा खोलकर बदली की पेशकश करता है। बदलना तीन में से दो बार जिताता है। आपका मूल दरवाज़ा तीन में से एक बार सही था और कोई नई जानकारी उसे छू नहीं गई, तो बचा दो-तिहाई अब उस अकेले बंद दरवाज़े पर जमा है। लोग जो शर्त चूकते हैं: मेज़बान जानता है इनाम कहाँ है और उसे कभी नहीं खोलता — वह हटा दीजिए और पहेली घुलकर बराबर मौक़ा रह जाती है।

जन्मदिन का विरोधाभास: 23 लोगों के कमरे में दो का जन्मदिन साझा होना, न होने से ज़्यादा संभावित है। जबकि सहज-बुद्धि आपको बाक़ी 22 से मिलाती है; घटना हर जोड़ी को मिलाती है, और 23 लोग 253 जोड़ियाँ हैं। इसे “सबके अलग-अलग” की संभावना 1 में से घटाकर निकालना — $\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times \dots$365/365 × 364/365 × 363/365 × … — ढहान को आँखों के सामने ला देता है।

पॉज़िटिव जाँच के बाद भी स्वस्थ क्यों वह है जिसके नतीजे कक्षा के बाहर हैं। 1,000 में 1 को लगने वाली बीमारी और दोनों दिशाओं में 99% सटीक जाँच लेकर 100,000 लोग गुज़ारिए: बीमार 100 में से क़रीब 99 पॉज़िटिव आते हैं, और स्वस्थ 99,900 में से क़रीब 999 भी पॉज़िटिव आ जाते हैं। पॉज़िटिव नतीजा क़रीब 9% बार सही है।

वृक्ष को उलटना: आधार-दर का उत्तर इसके पीछे की आम विधि है। वृक्ष घटनाओं के घटने के क्रम में बनाइए, फिर उसे उलटा पढ़िए: “जाँच पॉज़िटिव आई, तो बीमारी की संभावना क्या” का उत्तर है एक काम का रास्ता बटा पॉज़िटिव पर ख़त्म होने वाले सारे रास्ते। यही बेज़ का प्रमेय है — सूत्र से नहीं, गिनकर पहुँचा हुआ।

ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

• साथ घट सकने वाली घटनाओं की प्रायिकताएँ जोड़ना। ओवरलैप घटाइए, वरना वह दो बार गिना गया।
• अस्वतंत्र घटनाओं पर गुणा करना। बिना वापसी में दूसरा भिन्न बदलना ही चाहिए।
• ऐसे परिणाम गिनाना जो समसंभाव्य नहीं। दो पासों के 36 समसंभाव्य परिणाम हैं; उनके 11 संभव योग समसंभाव्य नहीं।
• झड़ी के बाद कुछ “बनता है” मानना। स्वतंत्र परीक्षणों की याददाश्त नहीं होती। अनुपात घुलकर सधता है, सुधरकर नहीं।
• P(A | B) की P(B | A) से अदला-बदली। यही आधार-दर की भूल है — इस विषय की सबसे नतीजाख़ेज़ ग़लती।
• “कम से कम एक” को मामला-दर-मामला गिनना। पूरक बरतिए; लंबा रास्ता एक डाल खो देता है।

यह आगे कहाँ ले जाता है

प्रतिदर्श समष्टि बड़ी होते ही परिणाम गिनाना नामुमकिन हो जाता है, और इलाज है बिना गिनाए गिनना — क्रमचय, संचय और उन्हें जमाने वाली समुच्चय-लिखावट, समुच्चय, गणन और बंटनों की गाइड (अंग्रेज़ी में) में, जो दोहराए परीक्षणों को द्विपद बंटन भी बनाती है। देखी बारंबारता से आबादी के बारे में दावा करना प्रतिचयन और आगमन की गाइड (अंग्रेज़ी में) है। और जिस भिन्न-अंकगणित पर हर वृक्ष आरेख दौड़ता है, वह भिन्नों की गाइड में है।

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