तुल्य भिन्न और मिश्र भिन्न

यह पन्ना भिन्नों को उसी तरह चलता है जैसे ऐप उन्हें सिखाता है: एक सीढ़ी की तरह — किसी चीज़ को बराबर हिस्सों में काटने से लेकर एक भिन्न को दूसरी से भाग देने तक। आप भिन्नें कैसे जोड़ें का सीधा उत्तर लेने आए हों, तो भिन्न की गाइड ठीक वही देती है और कुछ नहीं; यह पन्ना पूरी चढ़ाई के लिए है, और उन पायदानों के लिए जो छूट जाते हैं — तुल्यता, मिश्र भिन्न, और राशियों के भिन्न भाग।

पूरी चीज़ को एक विचार थामे हुए है। नीचे की संख्या इकाई है, मात्रा नहीं। पाँचवें और आठवें हिस्से अलग-अलग नाप के टुकड़े हैं, और नीचे का लगभग हर नियम या तो गिनने से पहले टुकड़ों को एक नाप का करने के बारे में है, या उन्हें जान-बूझकर दोबारा काटने के बारे में।

भिन्नें शुरू कहाँ होती हैं

बराबर शब्द से। बराबर हिस्से बस इसी के बारे में है: चार में से तीन टुकड़े तीन चौथाई तभी हैं जब चारों टुकड़े एक नाप के हों — चार बेमेल टुकड़ों में कटा आकार चौथाइयाँ दिखा ही नहीं रहा। यही फ़र्क़ भिन्नों को बयान से उठाकर अंकगणित बनाता है।

आधे, चौथाई, तिहाई शुरुआती नाम रखता है, और ऊपर और नीचे वह जगह है जहाँ लिखावट आती है: नीचे की संख्या बताती है कि पूरे को कितने टुकड़ों में काटा गया, ऊपर की बताती है कि कितने आपके पास हैं। फिर समूह का भिन्न भाग वह छलाँग लगवाता है जो लोगों को पकड़ती है — भिन्न कटे हुए आकार का ही नहीं, चीज़ों के समूह का भी बयान हो सकती है। 12 गोटियों का आधा 6 है, और “पूरा” वे बारह हैं।

दो भिन्नें तुल्य किससे होती हैं?

अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर मान नहीं बदलता। तुल्य भिन्न इसका कारण एक चित्र से दिखाता है: हर टुकड़ा उतने ही छोटे टुकड़ों में कटता है और आप उसी अनुपात में ज़्यादा टुकड़े लेते हैं, तो हाथ की मात्रा छुई नहीं जाती।

2/3 = 8/12 (दोनों × 4). $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100.

इसे उलटा चलाइए तो मिलता है सरलतम रूप — तब तक भाग देते जाइए जब तक कोई संख्या दोनों को न बाँटे, जो म.स.प. से एक ही बार भाग देने के बराबर है। $\frac{18}{24}÷6\to \frac{3}{4}$18/24 ÷ 6 → 3/4. वह गुणनखंड जल्दी ढूँढ़ना गुणनखंड और गुणज (अंग्रेज़ी में) के औज़ारों का काम है।

समान हर तुल्यता का दूसरी दिशा में इस्तेमाल है: भिन्न को सरल बनाने के बजाय दो भिन्नों को मिलवाना, ताकि उनकी गिनतियों की आख़िरकार तुलना या जोड़ हो सके।

दो भिन्नों की तुलना कैसे करें?

टुकड़ों को एक नाप का बनाइए, फिर गिनतियों की तुलना कीजिए। नीचे के तीनों छोटे रास्ते वही विधि हैं, एक क़दम छोड़कर।

नीचे बराबर। एक जैसी नीचे की संख्या: 5/8 > 3/8, क्योंकि पाँच आठवें, तीन से ज़्यादा आठवें हैं।

ऊपर बराबर। एक जैसी ऊपर की संख्या: 3/5 > 3/8। दोनों तरफ़ तीन टुकड़े, पर पाँचवाँ हिस्सा बड़ा टुकड़ा है। यही वह तुलना है जो उलटी लगती है और है नहीं — ज़्यादा कट, छोटे टुकड़े।

दोनों अलग। आधे से ज़्यादा सबसे तेज़ पहली जाँच है: अंश दुगुना कीजिए और देखिए वह हर के मुक़ाबले कहाँ बैठता है। $\frac{7}{16}$7/16 — 7 का दुगुना 14, 16 से नीचे, तो यह आधे से कम है। एक भिन्न आधे से ऊपर हो और दूसरी नीचे, तो काम ख़त्म।

भिन्नों का क्रम तीन या ज़्यादा को क्रम में रखता है — यहीं समान हर वैकल्पिक रहना बंद कर देता है: $\frac{2}{3}$2/3, $\frac{3}{5}$3/5, 7/10 → पंद्रहवें और दसवें नहीं पटते, तो तीसवें लीजिए → 20/30, $\frac{18}{30}$18/30, 21/30 → 3/5 < 2/3 < 7/10.

जोड़ना और घटाना

मिलते हुए हर गिनकर जुड़ते हैं। समान हर वाली भिन्नों का जोड़: $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7, ठीक उसी वजह से जिससे दो मीटर और तीन मीटर पाँच मीटर हैं। इकाई जोड़ी नहीं जा रही; वही तो गिनतियों को जोड़ने लायक़ बनाती है।

बेमेल हर वाली भिन्नों का जोड़ वही सवाल है, एक तैयारी के क़दम के बाद। 1/3 + 1/4 → बारहवें हिस्से → 4/12 + 3/12 = 7/12. दोनों हरों का गुणा हमेशा एक चलने लायक़ समान हर देता है; ल.स. बस बाद में सरल करने को कम छोड़ता है।

भिन्नों का घटाव हू-ब-हू वही चाल है: $\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\to \frac{9}{12}-\frac{8}{12}=\frac{1}{12}$3/4 − 2/3 → 9/12 − 8/12 = 1/12.

विषम भिन्न और मिश्र भिन्न

विषम भिन्न वह है जिसका अंश हर के बराबर या बड़ा है — जिसका सीधा मतलब बस इतना है कि वह एक या उससे ज़्यादा की क़ीमत रखती है। विषम भिन्न यही बात कहता है कि $\frac{7}{4}$7/4 में कुछ ग़लत नहीं — सात चौथाइयाँ होती हैं, बस पूरे से ज़्यादा हैं।

मिश्र भिन्न उसी मात्रा को लिखने का दूसरा ढंग है: $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$7/4 = 1 3/4 — एक पूरा और तीन चौथाई।

मिश्र भिन्न और विषम भिन्न दोनों बदलाव देता है, और दोनों महज़ भाग और गुणा हैं।

• विषम से मिश्र: अंश को हर से भाग दीजिए; भागफल पूर्ण भाग है, शेष ऊपर रहता है। $\frac{17}{5}\to 17÷5=3$17/5 → 17 ÷ 5 = 3 शेष $2\to 3\frac{2}{5}$2 → 3 2/5.
• मिश्र से विषम: पूर्ण × हर, ऊपर से अंश। $3\frac{2}{5}\to 3\times 5+2=17\to \frac{17}{5}$3 2/5 → 3 × 5 + 2 = 17 → 17/5.

मिश्र भिन्नों का जोड़-घटाव

पूर्णों और हिस्सों को अलग-अलग निपटाइए, फिर समेट लीजिए। $2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, और $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, तो $4\frac{1}{4}$4 1/4.

घटाव वहीं बिगड़ता है, क्योंकि भिन्न वाला हिस्सा कभी-कभी नहीं उतरता। इलाज है उधार — ठीक स्तंभ वाले घटाव जैसा: एक पूरा लेकर टुकड़ों में बदल दीजिए। 3 1/5 − 1 3/5 → एक पूरा पाँच पाँचवें बनाकर → 2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5. पहले दोनों संख्याएँ विषम भिन्न बना लेना — $\frac{16}{5}-\frac{8}{5}=\frac{8}{5}$16/5 − 8/5 = 8/5 — उधार को पूरी तरह टाल देता है, और संख्याएँ अटपटी हों तो यही रास्ता ज़्यादा सुरक्षित है।

किसी राशि का भिन्न भाग कैसे निकालें?

हर से भाग दीजिए, फिर अंश से गुणा। राशि का भिन्न भाग इसे हल करके दिखाता है: 60 का $\frac{3}{4}\to 60÷4=15\to 15\times 3=45$3/4 → 60 ÷ 4 = 15 → 15 × 3 = 45.

पहले भाग देने से संख्याएँ छोटी रहती हैं — दिमाग़ में करते समय यही मायने रखता है। मदद मिले तो क्रम पलटा जा सकता है — 3 × 60 = 180, फिर ÷ 4 = 45 — और दोनों रास्तों से एक ही उत्तर आना ग़ौर करने लायक़ है, क्योंकि यही वजह है कि “का” वाला नियम और गुणा का नियम एक ही नियम हैं।

भिन्नों का गुणा और भाग

इन्हीं के लिए लोग कमर कसते हैं, और यही आसान हैं — दोनों में से किसी को समान हर नहीं चाहिए।

भिन्नों का गुणा: सीधे आर-पार। $\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$2/3 × 4/5 = 8/15.

भिन्न से भाग सबसे अच्छा समाने के सवाल की तरह पढ़ा जाता है। $\frac{1}{2}÷\frac{1}{6}$1/2 ÷ 1/6 पूछता है कि आधे में कितने छठे समाते हैं — उत्तर तीन है, किसी भी पलटने से पहले दिखता हुआ। पलटना उसी सवाल का छोटा रास्ता है: $\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=3$1/2 × 6/1 = 3।

भिन्न को भिन्न से भाग आम सूरत सँभालता है, जहाँ समाना पूर्ण संख्या नहीं बैठता। $\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8. दो पाँचवें, तीन चौथाई में लगभग-लगभग दो बार समाते हैं, और भिन्न वही अधूरा समाना है।

चार ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

• हर जोड़ देना। $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 यानी 1, $\frac{2}{4}$2/4 नहीं। हर इकाई का नाम है; वह जमा नहीं होता।
• मिश्र भिन्न को वहीं की वहीं गुणा करना। $2\frac{1}{2}\times 3$2 1/2 × 3, $6\frac{1}{2}$6 1/2 नहीं है। पहले $\frac{5}{2}$5/2 बनाइए, फिर गुणा।
• सिर्फ़ एक पंक्ति को सरल करना। जो ऊपर किया, वही नीचे — वरना मान खिसक जाता है।
• गुणा से पहले समान हर खोजना। ग़लत नहीं, बस बेकार की मेहनत — गुणा को मिलती-जुलती इकाइयाँ नहीं चाहिए।

यह आगे कहाँ ले जाता है

जिस भिन्न का हर दस या सौ है वह दशमलव है, और जिसका हर सौ है वह प्रतिशत — एक ही मात्रा तीन लिखावटों में, जिसकी अगली कड़ी दशमलव, प्रतिशत और ब्याज (अंग्रेज़ी में) है। हिस्से की पूरे से नहीं, दो मात्राओं की आपसी तुलना अनुपात, दर और समानुपात (अंग्रेज़ी में) का विषय है। और किसी भिन्न का दशमलव रुकता है या हमेशा दोहराता है, इसका फ़ैसला उसके हर के अभाज्य गुणनखंड करते हैं — संख्या सिद्धांत (अंग्रेज़ी में) में।

खेल में अभ्यास

Math Challenge ऊपर के हर पायदान को सचित्र पाठ की तरह सिखाता है — तुल्यता का चित्र, मिश्र भिन्न का बदलाव, भाग के लिए समाने की दलील — पूरी सीढ़ी में फैले 800+ पाठों की सूची के भीतर। कोई अभ्यास-प्रश्न बिगड़े, तो ऐप ठीक वही कड़ी दोबारा सिखाता है जहाँ से वह सवाल आया था, कोई आस-पास की नहीं।

भिन्न विषय जोड़ने-घटाने का अभ्यास कराता है — शुरुआत सुविधाजनक हरों से, और सही उत्तरों के साथ दायरा चौड़ा होता हुआ।

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