比・単位量あたり・比例

比は、計算はやさしいのに読み取りが難しい、最初の単元です。360 ÷ 9 を間違える人はほとんどいません。それでも、比が 4:5 のときに 4 で割ってしまう人は大勢います。問題は部分と全体をくらべていたのに、部分と部分をくらべてしまったからです。

だからこのページは、その区別を軸に組み立てます。比は部分と部分をくらべます。分数は部分と全体をくらべます。単位量あたりの大きさは、ちがう単位の二つの量をくらべます。この三つがまっすぐ立てば、残りはかけ算です。

比とは何か

比は、何かの部分どうしの大きさの関係を言います。比はコロンの書き方から始めます — 赤 : 青 = 2 : 3 は、青3つごとに赤2つということ — そして部分と全体の比が、あとのすべてが頼る変換をすぐにやります。部分を足すと5になるので、赤は全体の $\frac{2}{5}$2/5 であって、$\frac{2}{3}$2/3 ではありません。

比を整えるは分数の約分と同じに働きます — どの部分も共通の約数で割る。だから 12 : 18 は 2 : 3 になります。これは三つの部分の比にも姿を変えずにのび、比・分数・百分率が翻訳表を完成させます。2 : 3 は全体の $\frac{2}{5}$2/5、つまり 40%。

量を比で分ける

部分を足し、割り、かけて配る。360 を 4 : 5 で分ける → 部分は9つ → 1部分は 40 → 取り分は 160 と 200。たしかめは、取り分を足すともとに戻ることです。

比のテープ図は、これを間違えにくくする絵です。等しい箱を九つ、二つのまとまりに描けば、問いは見たままになります。見かけよりずっと長く役に立ちます — このページのいちばん手ごわい問題も、テープを描けばまだ解けるのです。

二つの比をつなぐは、真ん中の項を共有する場合を受け持ちます。A : B = 2 : 3 で B : C = 4 : 5 なら、二つの B が食いちがっているので、そろうまでそれぞれの比を拡大します。A : B = 8 : 12、B : C = 12 : 15、だから A : B : C = 8 : 12 : 15。

単位量の方法が、この全部の下にある万能の道具です。1単位を求めて、かけ上げる。ノート7冊で 21、だから1冊 3、だから12冊で 36。最速だったためしはなく、失敗したためしもありません。紛らわしく書かれた問題で手をのばすべきものである理由が、それです。倍率は同じ考えに「かけ数」という名前をつけたもの — 一方の量を相方へ運ぶ数です。

単位量あたりの大きさとは何か

単位量あたりの大きさは、ちがう単位で測った二つの量をくらべるので、その値は両方の単位を背負っています。単位量あたりの大きさが考えを紹介し、単位量・総量・単位数が三つを結ぶ三角形を与えます。単位量 × 単位数 = 総量。どの二つからでも、残る一つが出ます。

単位量あたりでくらべるが実用の技です — 750 g 入り 3.60 の箱と 1.2 kg 入り 5.40 の箱は、100 g あたり 0.48 と 0.45 のくらべになります。スーパーの棚札の中身は、まるごとこれです。為替レートは同じ計算に「レートがどちら向きか」という注意が加わったもので、本当に間違えやすいのはそこだけです。

速さ・密度・圧力

速さは単位時間あたりの道のりで、だれもがすでに直感で持っている単位量です。平均の速さは直感が敗れるところです。総道のり割る総時間であって、速さの平均ではありません。同じ道を行きは 60、帰りは 30 で走ると平均は 40 で、45 ではありません。遅い側の行程は2倍の時間がかかり、だから2倍の重みで数えられるのです。

密度（体積あたりの質量）と圧力（面積あたりの力）は、ラベルを変えた同じ三角形です。まとめて教える意味がそこにあります — 関係は一つ、科目は三つ。

組み合わせの単位の変換は、数学でも物理でも同じくらい飛ばされる一歩です。上と下を別々に直します。72 km/h → 72,000 m/h → 72,000 ÷ 3,600 = 20 m/s。両方を一度にやるところに、間違いが住んでいます。

正比例と反比例

正比例では、片方を2倍にするともう片方も2倍になり、比が固定されたままです。反比例では、片方を2倍にするともう片方は半分になり、積が固定されたままです。

正比例は y = kx、原点を通るまっすぐな線です。反比例は xy = k。ペンキ職人4人で6日なら8人で3日 — 変わらないのは仕事の総量、24人日だからです。

比例定数は k という数そのもので、これに名前をつけることが、比例の問題を「見抜くべき規則性」から「解ける方程式」に変えます。単位あたりで進める比例は、ここに単位量の方法を一歩ずつ当てはめたものです。

地図の縮尺は定数の決まった正比例で、書き方は押さえておく値打ちがあります。1 : 50,000 は、地図上の 1 cm が地上の 50,000 cm — 半キロメートル — という意味です。

変化の前と後の比の問題

自信のある生徒とそうでない生徒を分けるのがこの問題で、方法はいつも同じです。変わらなかったものを見つけ、その変わらないものが同じ部分数で書かれるように、両方の比を拡大するのです。

取り分に合わせて比を書き直すが、その拡大の動きそのものを教えます。そして形は三つあり、この型の試験問題のほとんどを覆います。

• 部分が変わらない比 — 片方の量は手つかずで、もう片方だけ変わる。だから、その部分の数字を両方の比でそろえます。
• 合計が変わらない比 — 二つのまとまりのあいだで動くだけで、出入りはない。だから合計をそろえます。
• 差が変わらない比 — 年齢のように、両方が同じだけ育つ。だから二つのへだたりが不変量です。

前と後の比の問題がそれらを組み合わせます。二人がお金を 5 : 3 で分けている。片方が 12 を手放すと、二人は等しくなった。前の時点で2部分の差が 12 だったのだから、1部分は 6 で、取り分は 30 と 18 だった。

面積と体積の拡大

面積の拡大は、人が二度おどろく結果です。どの長さも3倍にすると、面積は $3^2=9$3² = 9 倍になります。たてもよこも3倍になったからです。体積は3乗で進みます。

縮尺 1 : 50,000 の地図の面積の縮尺が 1 対 25億になるのはこのためで、ケーキ型の幅を2倍にすると生地が2倍ではなく4倍要るのも同じ理由です。

文章題で正比例か反比例かを見分けるには

最初の量が2倍になったとき、二つ目の量がどうなるかを問います。いっしょに2倍になるなら正比例、半分になるなら反比例。このたった一つのテストのほうが、キーワード探しより頼りになります。同じ言葉が、どちらの型の問題にも現れるからです。

それから不変量をたしかめます。正比例の関係では、どの値の組も同じ商を与えます。反比例なら、同じ積です。与えられたデータのどこでも一定にならないなら、その関係はそもそも比例ではなく、どれだけ拡大縮小しても言うことを聞きません。

名前をつけておく値打ちのある間違い、四つ

• 合計ではなく1部分で割る。4 : 5 で分けるとは、9 で割ることです。毎回、まず合計を書きます。
• 二つの速さを平均する。総道のり割る総時間。遅い行程は長く続くぶん、重く数えられます。
• 組み合わせの単位の片方だけ直す。km/h から m/s へは、上も下も要ります。
• 面積を長さの倍率で拡大する。長さは k 倍、面積は k² 倍、体積は k³ 倍。

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比は、部分を説明するのではなく部分どうしをくらべるために使われた分数なので、その下にあるのは等しい分数と帯分数です。百分率は合計を100に固定した比です。比例定数に名前をつけることは代数の書き方（英語）への最初の一歩で、原点を通るまっすぐな線は方程式（英語）が引き継ぐ場所です。

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