비·비율·비례

비는 계산은 쉬운데 읽기가 어려운 첫 단원입니다. 360 ÷ 9 를 틀리는 사람은 거의 없습니다. 그런데도 비가 4:5일 때 4로 나누는 사람은 많습니다. 문제는 부분과 전체를 비교하고 있었는데 부분과 부분을 비교해 버렸기 때문입니다.

그래서 이 페이지는 그 구별을 축으로 짭니다. 비는 부분과 부분을 비교합니다. 분수는 한 부분과 전체를 비교합니다. 비율은 단위가 다른 두 양을 비교합니다. 이 셋이 바로 서면 나머지는 곱셈입니다.

비란 무엇인가

비는 무언가의 부분들이 크기에서 어떻게 맺어지는지 말합니다. 비는 쌍점 표기에서 시작하고 — 빨강 : 파랑 = 2 : 3 은 파랑 셋마다 빨강 둘이라는 뜻 — 부분 대 전체의 비가 다른 모든 것이 기대는 변환을 곧바로 해냅니다. 부분을 더하면 다섯이므로 빨강은 전체의 $\frac{2}{5}$2/5 이지 $\frac{2}{3}$2/3 이 아닙니다.

비 다듬기는 분수 약분처럼 움직입니다 — 모든 부분을 공약수로 나누면 12 : 18 은 2 : 3 이 됩니다 — 그리고 세 부분의 비로 모습을 바꾸지 않고 뻗습니다. 비·분수·백분율이 번역표를 완성합니다. 2 : 3 은 전체의 $\frac{2}{5}$2/5, 곧 40%.

양을 비로 나눠 갖기

부분을 더하고, 나누고, 곱해서 나눠 줍니다. 360을 4 : 5 로 나누기 → 부분 9개 → 한 부분은 40 → 몫은 160과 200. 확인은 몫을 더하면 원래대로 돌아온다는 것입니다.

비의 띠 모형은 이것을 틀리기 어렵게 만드는 그림입니다. 같은 칸 아홉 개를 두 묶음으로 그리면 질문이 뻔해집니다. 보기보다 훨씬 오래 쓸모가 갑니다 — 이 페이지의 가장 까다로운 문제도 띠를 그리면 여전히 풀립니다.

두 비 잇기는 가운데 항을 공유하는 경우를 맡습니다. A : B = 2 : 3 이고 B : C = 4 : 5 라면 두 B가 어긋나므로, 맞을 때까지 각 비를 키웁니다. A : B = 8 : 12, B : C = 12 : 15, 그래서 A : B : C = 8 : 12 : 15.

단위량 방법이 이 모든 것 밑에 있는 만능 도구입니다. 한 단위를 구하고 곱해 올라간다. 공책 7권에 21, 그래서 한 권 3, 그래서 12권에 36. 가장 빠른 적은 없고 실패한 적도 없습니다. 헷갈리게 쓰인 문제에서 손을 뻗을 것인 이유가 그것입니다. 배율은 같은 생각에 곱수라는 이름을 붙인 것 — 한 양을 그 짝으로 데려가는 수입니다.

비율이란 무엇인가

비율은 서로 다른 단위로 잰 두 양을 비교하므로 그 값은 두 단위를 짊어집니다. 비율이 생각을 소개하고 비율·총량·단위 수가 셋을 잇는 삼각형을 줍니다. 비율 × 단위 수 = 총량. 어느 둘로든 나머지 하나가 나옵니다.

단위 비율 비교가 실전 기술입니다 — 750 g 들이 3.60 상자와 1.2 kg 들이 5.40 상자는 100 g당 0.48 대 0.45 의 비교가 됩니다. 마트 선반 가격표의 내용이 통째로 이것입니다. 환율은 같은 산수에 "환율이 어느 쪽을 가리키는가"를 아는 주의가 더해진 것이고, 정말로 틀리기 쉬운 데는 그것뿐입니다.

속력·밀도·압력

속력은 단위 시간당 거리로, 누구나 이미 직감으로 가진 비율입니다. 평균 속력은 직감이 무너지는 곳입니다. 총거리 나누기 총시간이지, 속력들의 평균이 아닙니다. 같은 길을 갈 때 60, 올 때 30으로 달리면 평균은 40이지 45가 아닙니다. 느린 구간이 두 배의 시간을 잡아먹어 두 배로 세어지기 때문입니다.

밀도(부피당 질량)와 압력(넓이당 힘)은 이름표만 다른 같은 삼각형이고, 함께 가르치는 이유가 그것입니다 — 관계는 하나, 과목은 셋.

복합 단위 변환은 수학에서도 물리에서도 똑같이 건너뛰어지는 걸음입니다. 위와 아래를 따로 바꿉니다. 72 km/h → 72,000 m/h → 72,000 ÷ 3,600 = 20 m/s. 둘을 한꺼번에 다루는 곳에 실수가 삽니다.

정비례와 반비례

정비례에서는 한쪽을 두 배로 하면 다른 쪽도 두 배가 되고 비가 고정됩니다. 반비례에서는 한쪽을 두 배로 하면 다른 쪽이 절반이 되고 곱이 고정됩니다.

정비례는 y = kx, 원점을 지나는 곧은 선입니다. 반비례는 xy = k. 도장공 넷이 엿새면 여덟은 사흘 — 변하지 않는 것은 일의 총량, 스물넷 사람·날이기 때문입니다.

비례상수는 k라는 수 그 자체이고, 여기에 이름을 붙이는 것이 비례 문제를 "알아채야 할 무늬"에서 "풀 수 있는 방정식"으로 바꿉니다. 단위 값으로 가는 비례는 단위량 방법을 여기에 한 걸음씩 얹은 것입니다.

지도 축척은 상수가 정해진 정비례이고, 표기는 짚어 둘 만합니다. 1 : 50,000 은 지도 위 1 cm 가 땅 위 50,000 cm — 반 킬로미터 — 라는 뜻입니다.

변화 전과 후의 비 문제

자신 있는 학생과 그렇지 않은 학생을 가르는 문제이고, 방법은 언제나 같습니다. 변하지 않은 것을 찾고, 그 변하지 않은 것이 같은 부분 수로 쓰이도록 두 비를 키우는 것입니다.

몫에 맞춰 비 다시 쓰기가 그 키우는 동작 자체를 가르칩니다. 그리고 모양은 셋이고, 이 유형의 시험 문제 거의 전부를 덮습니다.

• 부분이 변하지 않는 비 — 한 양은 손대지 않고 다른 쪽만 변합니다. 그 부분의 숫자를 두 비에서 같게 만드세요.
• 합이 변하지 않는 비 — 두 묶음 사이를 오갈 뿐 드나드는 것이 없습니다. 그러니 합이 맞아야 합니다.
• 차가 변하지 않는 비 — 나이처럼 둘 다 같은 만큼 자랍니다. 그래서 둘 사이 틈이 불변량입니다.

전과 후의 비 문제가 그것들을 합칩니다. 두 사람이 돈을 5 : 3 으로 나눠 가졌다. 한 사람이 12를 내놓자 둘이 같아졌다. 전의 시점에 2부분의 차가 12였으니 한 부분은 6이고, 몫은 30과 18이었다.

넓이와 부피의 배율

넓이 키우기는 사람들이 두 번 놀라는 결과입니다. 모든 길이를 3배로 하면 넓이는 $3^2=9$3² = 9 배가 됩니다. 가로도 세로도 세 배가 되었기 때문입니다. 부피는 세제곱으로 갑니다.

1 : 50,000 축척 지도의 넓이 축척이 1 대 25억인 이유이고, 케이크 틀 너비를 두 배로 하면 반죽이 두 배가 아니라 네 배 필요한 이유입니다.

문장제에서 정비례와 반비례를 가리려면

첫 번째 양이 두 배가 될 때 두 번째 양이 어떻게 되는지 묻습니다. 함께 두 배가 되면 정비례, 절반이 되면 반비례. 이 한 가지 시험이 열쇠말 찾기보다 믿을 만합니다. 같은 낱말이 두 유형의 문제에 다 나오기 때문입니다.

그다음 불변량을 확인합니다. 정비례 관계에서는 어느 값의 짝이든 같은 몫을 주고, 반비례라면 같은 곱을 줍니다. 받은 자료 어디서도 일정하지 않다면 그 관계는 애초에 비례가 아니고, 아무리 배율을 걸어도 말을 듣지 않습니다.

이름을 붙여 둘 만한 실수 넷

• 합 대신 한 부분으로 나누기. 4 : 5 로 나눠 갖기는 9로 나누기입니다. 매번 합부터 적으세요.
• 두 속력을 평균하기. 총거리 나누기 총시간. 느린 구간이 더 오래 가니 더 무겁게 세어집니다.
• 복합 단위의 절반만 바꾸기. km/h 에서 m/s 로는 위도 아래도 필요합니다.
• 넓이를 길이 배율로 키우기. 길이는 k배, 넓이는 k²배, 부피는 k³배.

다음으로 이어지는 곳

비는 부분을 설명하는 대신 부분끼리 비교하는 데 쓰인 분수라서, 그 밑에 있는 것은 크기가 같은 분수와 대분수입니다. 백분율은 합을 100에 고정한 비입니다. 비례상수에 이름을 붙이는 것은 대수 표기(영어)로 가는 첫걸음이고, 원점을 지나는 곧은 선은 방정식(영어)이 이어받는 자리입니다.

게임으로 연습하기

Math Challenge는 위의 모든 계단을 그림 수업으로 가르칩니다 — 띠 모형을 실제로 그리고, 전과 후의 불변량에 빛을 비추고, 복합 단위 변환을 보이는 두 걸음으로 해내며 — 800개 넘는 카탈로그 안에서.

비 무료로 연습하기 →