¿Cómo se calcula el porcentaje de un número de cabeza?

Parte del 10%, que es el número con el punto decimal movido un lugar a la izquierda, y construye el resto a partir de ahí. El 10% de 240 es 24, así que el 20% es 48, el 5% es 12, y el 35% es 24 + 48 + 12, leído como 10 + 20 + 5. Casi cualquier porcentaje que te encuentres es una suma corta de 10%, 5% y 1%.

¿Qué es el intercambio de porcentajes?

El x% de y es siempre igual al y% de x, y un lado suele ser mucho más fácil. El 4% de 25 parece incómodo, pero el 25% de 4 es 1. El 18% de 50 se convierte en el 50% de 18, que es 9. Los dos lados son la misma multiplicación - x por y dividido entre 100 - así que el intercambio es gratis, y no cuesta nada comprobar si el otro orden sale mejor.

¿Cómo se calcula la variación porcentual?

Divide la diferencia entre la cantidad ORIGINAL y multiplica por 100. De 40 a 50 hay una diferencia de 10 sobre un original de 40, así que 10 dividido entre 40 es 0.25, un aumento del 25%. El error más frecuente es dividir entre el número nuevo: ir de 40 a 50 es una subida del 25%, pero volver de 50 a 40 es una bajada del 20%, y las dos son de verdad distintas.

¿Cómo se halla el precio original antes de un descuento?

Divide, no vuelvas a sumar el porcentaje. Si se descontó un 20% y el precio ahora es 60, entonces 60 es el 80% del original, así que el original es 60 dividido entre 0.8, es decir 75. Sumar un 20% a 60 da 72 y está mal, porque ese 20% era una parte del precio original, mayor, y no de lo que queda.

¿Por qué no se pueden sumar dos porcentajes sin más?

Porque el segundo es una parte de otra cantidad. Una subida del 10% seguida de una bajada del 10% no te devuelve al punto de partida: 100 pasa a 110, y el 10% de 110 es 11, así que aterrizas en 99. Cada porcentaje se mide sobre el total que hubiera en el momento de aplicarlo.

Porcentajes

Por ciento significa por cada cien. El 35% son 35 de cada 100: una fracción con el denominador ya pactado, que es justo por lo que los porcentajes triunfaron. Dos fracciones con denominadores distintos son difíciles de comparar; dos porcentajes no lo son nunca.

Y esa es también la clave para hacerlos de cabeza. En realidad nunca estás calculando un porcentaje: lo estás construyendo con unos pocos que ya te sabes.

Constrúyelo todo a partir del 10%

El 10% es el número con el punto decimal movido un lugar a la izquierda. Cualquier otro porcentaje es una suma corta de piezas hechas a partir de él.

Quieres	Haz esto	Ejemplo (de 240)
10%	mueve el punto un lugar	24
1%	mueve el punto dos lugares	2.4
20%	el doble del 10%	48
5%	la mitad del 10%	12
15%	10% + 5%	36
25%	la cuarta parte — mitad y mitad otra vez	60
35%	10% + 20% + 5%	84

17% de 300 → el 10% es 30, el 5% es 15, el 1% es 3, así que 30 + 15 + 3 × 2 = 51.

Los porcentajes se suman entre sí mientras sean partes de la misma cantidad. El 10% y el 5% de un mismo número sí se combinan en el 15% de ese número, así que un porcentaje se puede montar con piezas fáciles en vez de calcularlo de una tacada. De ahí sale casi todo el cálculo mental de porcentajes.

El intercambio de porcentajes

El x% de y es siempre igual al y% de x, y un lado suele ser mucho más fácil.

El 4% de 25 es incómodo; el 25% de 4 es 1. El 18% de 50 → el 50% de 18 = 9. El 12% de 50 → el 50% de 12 = 6.

Los dos lados son la misma multiplicación, x × y / 100, leída en otro orden. A la multiplicación le da igual el orden, así que el intercambio sale gratis — y no cuesta nada echar un vistazo al otro lado antes de empezar.

Variación porcentual

Divide la diferencia entre el original y multiplica por 100.

40 → 50: la diferencia es 10 y el original es 40, así que 10 ÷ 40 = 0.25 → un aumento del 25%.

50 → 40: la diferencia es 10 y el original es 50, así que 10 ÷ 50 = 0.2 → una bajada del 20%.

Esas dos no se contradicen, y darse cuenta de por qué es casi todo lo que significa entender los porcentajes. Un porcentaje es siempre una parte de algo, y en cada dirección ese algo es distinto. Diez es la cuarta parte de 40 y la quinta parte de 50. Cuando un porcentaje parezca raro, la primera pregunta es: ¿porcentaje de qué?

Los porcentajes no se apilan

100 sube un 10% → 110. Luego baja un 10% → 99, no 100.

La bajada fue un 10% de 110, que es más que un 10% de 100. Esa misma asimetría explica por qué una pérdida del 50% necesita una ganancia del 100% para recuperarse.

Subidas y descuentos en un solo paso

No calcules la parte y luego la sumes o la restes: ve directo al importe final con un multiplicador.

Cambio	Multiplica por	Ejemplo
+10%	1.1	80 → 88
−10%	0.9	80 → 72
+20%	1.2	80 → 96
−25%	0.75	80 → 60
−30%	0.7	80 → 56

Un descuento del 30% deja el 70% en pie, y el 70% de algo es 0.7 × ese algo. Ir directo al multiplicador reduce el trabajo a la mitad y elimina el paso que más se falla. Además hace fáciles varios cambios seguidos: dos subidas del 10% son × 1.1 × 1.1 = × 1.21, o sea el 21% — no el 20% — que predice el apilamiento.

Porcentajes inversos

El caso incómodo, y el que merece la pena practicar: conoces el precio después del cambio y quieres el de antes.

Un abrigo cuesta 60 tras un 20% de descuento. 60 es el 80% del original, así que el original es 60 ÷ 0.8 = 75.

Una factura es de 108 con un 8% de impuesto incluido. 108 es el 108% del importe sin impuesto, así que este es 108 ÷ 1.08 = 100.

Volver a sumar el porcentaje es el error clásico: 60 + el 20% de 60 da 72, que no es 75. Ese 20% era una parte del precio original, no del rebajado, así que el único camino de vuelta es deshacer la multiplicación que ahora sabes que se aplicó. Si hacia delante es × 0.8, hacia atrás es ÷ 0.8.

Los del día a día

Una propina del 15% sobre 43. El 10% es 4.30, la mitad de eso es 2.15, así que unos 6.45.
Un tercio de descuento sobre 27. Un tercio es 9, así que 18. Los descuentos con forma de fracción salen antes como fracciones.
Un 20% de descuento y luego otro 10%. × 0.8 × 0.9 = × 0.72, o sea un 28% de descuento — no un 30%.
"Hasta un 70% de descuento". Multiplica por 0.3 para ver el mejor caso de una sola vez.

Las fracciones que conviene reconocer de vista

Reconocerlas elimina la aritmética por completo.

Porcentaje	Fracción	En la práctica
50%	1/2	la mitad
25%	1/4	mitad, y mitad otra vez
75%	3/4	mitad, mitad otra vez, y tomas tres
33.3%	1/3	divide entre 3
20%	1/5	divide entre 5
12.5%	1/8	la mitad tres veces

De dónde salen se explica en la guía de fracciones, y el resto de atajos mentales están en trucos de cálculo mental.

Todo lo de esta página es un porcentaje aplicado una vez. Aplicado repetidamente se convierte en intereses, depreciación e inflación — el crecimiento compuesto, las tasas efectivas, la amortización de préstamos y las anualidades se trabajan en decimales, porcentajes e intereses (en inglés).

Los errores que conviene nombrar

Dividir entre la cantidad nueva en una variación porcentual. La referencia es el original, siempre.
Volver a sumar el descuento para deshacerlo. Divide entre el multiplicador.
Sumar porcentajes sucesivos. Multiplica los multiplicadores: un 20% y luego un 10% es un 28%, no un 30%.
Confundir un porcentaje con un punto porcentual. Un tipo que pasa del 4% al 5% sube un punto porcentual — y sube un 25%.

Practica esto en el juego

Math Challenge tiene un tema de Porcentajes que entrena el movimiento central — el porcentaje de un número — empezando por el 10%, el 25% y el 50% de números cómodos y ampliando hacia los menos memorizados a medida que aciertas. Esa es la pieza con la que está construido todo lo de esta página, y es la que merece la pena volver automática.

El intercambio de porcentajes es además una de las 36 lecciones ilustradas de Trucos de Magia, que enseñan primero el razonamiento y después te dejan practicándolo. Esa pertenece al conjunto Pro y no a los trucos gratuitos de inicio — el tema de Porcentajes de arriba no requiere ninguna compra.

Tu turno

Tres para practicar: toca tu respuesta.

25% de 80

15% de 200

Una camiseta de $40 baja un 10%. ¿Nuevo precio?

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