Comment calculer une hausse en pourcentage ?

Multipliez par 1 plus le pourcentage en décimal. Une hausse de 15% sur 240, c'est 240 x 1.15 = 276. La forme multiplicateur vaut la peine d'être apprise parce qu'elle se compose : deux hausses successives de 10% font 1.10 x 1.10 = 1.21, une hausse de 21%, pas de 20%. Additionner des pourcentages au lieu de multiplier des multiplicateurs est l'erreur la plus courante de tout ce sujet.

Qu'est-ce qu'un pourcentage inverse ?

C'est retrouver le montant d'origine quand on ne connaît que le montant après un changement. Divisez au lieu de multiplier. Si un manteau coûte 68 après une remise de 15%, alors 68 représente 85% de l'original, donc l'original est 68 divisé par 0.85 = 80. Prendre 15% de 68 et les rajouter donne 78.20, ce qui est faux, parce que la remise n'a jamais été un pourcentage du prix soldé.

Quelle est la différence entre intérêts simples et composés ?

Les intérêts simples se calculent toujours sur le montant d'origine ; les intérêts composés se calculent sur le solde, si bien que les intérêts passés rapportent aussi des intérêts. Sur 1 000 à 5% pendant 3 ans, l'intérêt simple paie 150 quand le composé paie 157.63. L'écart est petit au début et se creuse sans limite : la croissance simple est une droite, la croissance composée est une courbe.

Quelle est la formule des intérêts composés ?

Le montant final est le montant de départ fois (1 + r) à la puissance n, où r est le taux par période en décimal et n le nombre de périodes. Pour 1 000 à 5% pendant 3 ans : 1000 x 1.05 au cube = 1 157.63. La puissance n'est que le multiplicateur appliqué une fois par période : la formule est une multiplication répétée écrite de façon compacte.

Pourquoi l'argent d'aujourd'hui vaut-il plus que le même argent l'an prochain ?

Parce que l'argent détenu aujourd'hui peut rapporter, si bien qu'un euro maintenant et un euro dans un an ne sont pas le même actif. Pour comparer des montants à des dates différentes, on actualise le plus tardif : à 5%, 1 050 reçus dans un an valent 1 050 divisés par 1.05, soit 1 000 aujourd'hui. L'inflation aggrave l'effet en réduisant ce que l'argent tardif peut acheter.

Comment divise-t-on par un décimal ?

Multipliez les deux nombres par dix jusqu'à ce que le diviseur soit un nombre entier, puis divisez normalement. 12 divisé par 0.4 devient 120 divisé par 4, soit 30. Agrandir les deux par le même facteur laisse la réponse intacte, parce que la question « combien de 0.4 tiennent dans 12 » est la même question que « combien de 4 tiennent dans 120 ».

Décimaux, pourcentages et intérêts

Décimaux, pourcentages et intérêts sont un seul sujet sous trois chapeaux. Un décimal est une fraction dont le bas est une puissance de dix ; un pourcentage est une fraction dont tout le monde a convenu que le bas serait cent ; et l'intérêt est ce qui arrive quand on applique un pourcentage encore et encore.

Cette page parcourt cette échelle de bout en bout, et passe l'essentiel de sa longueur sur le bout lointain — variation en pourcentage, pourcentages inverses, capitalisation et arithmétique des emprunts — parce que c'est là qu'est l'argent et que les erreurs coûtent cher. Pour le mode d'emploi direct de l'arithmétique décimale, le guide des décimaux et le guide des pourcentages répondent chacun à ces questions.

Ce que signifient les décimales

Chaque pas à droite du point est dix fois plus petit, exactement comme chaque pas à sa gauche est dix fois plus grand. Les décimaux introduit les dixièmes, Les centièmes la colonne suivante, et Les millièmes celle d'après — moment où le motif fait déjà l'enseignement tout seul.

3.47 = 3 unités + 4 dixièmes + 7 centièmes.

Comparer les décimaux règle l'erreur qui survit à toutes les autres : plus de chiffres ne veut pas dire plus grand. 0.9 > 0.35, parce que neuf dixièmes battent trois dixièmes et demi. Compléter à longueur égale — 0.90 contre 0.35 — rend la chose évidente. Et 0.5 est une moitié ancre la poignée qu'il faut connaître à vue, ce qui retire l'arithmétique de la plupart des questions quotidiennes.

Multiplier et diviser les décimaux par 10 et 100 est la leçon qui remplace « rajouter un zéro » par quelque chose de vrai : les chiffres se décalent et le point reste en place. Cette distinction est invisible pour les entiers et décisive dès qu'un point apparaît.

Les quatre opérations

Aligner le point est la règle de l'addition, et Additionner en colonnes et Soustraire en colonnes la portent dans le calcul posé. 3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. Aligner les points met les dixièmes sur les dixièmes ; aligner les extrémités droites additionne des dixièmes à des centièmes.

Compter les décimales est la multiplication : ignorez les points, multipliez, puis comptez les décimales des deux facteurs et enfoncez le point d'autant. 0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → deux décimales → 0.12.

0.4 × 0.3, c'est (4/10) × (3/10) = 12/100. Chaque facteur apporte sa propre division par dix et la réponse garde les deux, ce qui est exactement ce que « compter les décimales » compte. C'est aussi pourquoi multiplier par un nombre plus petit que un rétrécit — vous prenez quatre dixièmes de quelque chose.

Diviser un décimal traite la division par un entier, où le point monte tout droit dans la réponse. Diviser par un décimal traite l'autre cas en agrandissant les deux nombres jusqu'à un diviseur entier : 12 ÷ 0.4 → 120 ÷ 4 = 30. Que la réponse dépasse 12 est correct — beaucoup de petits morceaux tiennent dans une chose.

Arrondir à une et deux décimales clôt l'arithmétique : un seul chiffre décide, celui juste après la position gardée.

Qu'est-ce qu'un pourcentage ?

Un pourcentage est une fraction au bas fixé à 100, ce qui rend deux pourcentages quelconques comparables d'un coup d'œil. Le pourcentage commence là, et Fractions, décimaux et pourcentages est la table de conversion qui relie les trois notations de cette page.

Fraction	Décimal	Pourcentage
1/2	0.5	50%
1/4	0.25	25%
1/5	0.2	20%
1/8	0.125	12.5%
1/3	0.333…	33.3%

Trouver un pourcentage est le geste central, et la route de tête consiste à bâtir les pourcentages difficiles à partir des faciles : 10% en divisant par dix, 5% en prenant la moitié, 1% en divisant par cent. 35% de 240 → 24 + 24 + 24 + 12 = 84. Comparer avec des pourcentages est la raison d'être des pourcentages — 18 sur 25 et 26 sur 40 sont durs à classer jusqu'à ce qu'ils deviennent 72% et 65%.

Comment calculer une variation en pourcentage ?

Multipliez par un seul nombre. Une hausse de 15%, c'est × 1.15 ; une baisse de 15%, c'est × 0.85. La hausse en pourcentage et Retirer un pourcentage plaident tous deux pour le multiplicateur contre le deux-temps « trouver la part, puis l'ajouter ou la retirer ».

240 après une hausse de 15% → 240 × 1.15 = 276. 80 après 15% de remise → 80 × 0.85 = 68.

Le multiplicateur vaut le petit effort d'apprentissage parce qu'il se compose, et le deux-temps non. Deux hausses de 10% font 1.10 × 1.10 = 1.21 — une hausse de 21%, pas de 20%. Une hausse de 20% suivie d'une baisse de 20%, c'est 1.2 × 0.8 = 0.96 : vous finissez 4% plus bas, pas à l'équilibre. Les pourcentages ne s'additionnent pas ; leurs multiplicateurs se multiplient.

La variation en pourcentage joue le tout en sens inverse, en déduisant le pourcentage depuis les deux montants : divisez le changement par l'original, jamais par la nouvelle valeur. 40 → 50, c'est 10/40 = 25% de hausse ; 50 → 40, c'est 10/50 = 20% de baisse. Le même dix, deux pourcentages différents, parce que la référence a bougé.

Les pourcentages inverses

Les pourcentages inverses est celui pour lequel il faut ralentir, parce que la mauvaise méthode s'approche assez pour sembler juste. Si un manteau a coûté 68 après 15% de remise, alors 68 représente 85% de l'original, donc l'original est 68 ÷ 0.85 = 80. Ajouter 15% de 68 donne 78.20 — faux, parce que la remise n'a jamais été un pourcentage du prix soldé.

La dépréciation applique le même multiplicateur à répétition, vers le bas. Une voiture qui perd 18% par an vaut × 0.82 chaque année, donc après trois ans elle retient 0.82³ ≈ 0.551 — environ 55% de son prix, et non les 46% que soustraire 18% trois fois laisserait croire.

Intérêts simples ou intérêts composés ?

Les intérêts simples se calculent toujours sur le montant d'origine ; les intérêts composés se calculent sur le solde, si bien que les intérêts rapportent des intérêts. Les intérêts simples donne le cas rectiligne : 1 000 à 5% pendant 3 ans paie 50 × 3 = 150.

Les intérêts composés est le multiplicateur appliqué une fois par période : 1 000 × 1.05³ = 1 157.63, soit 157.63 d'intérêts. Intérêts simples contre composés met les deux côte à côte, et le résumé honnête est que l'écart est banal au début et énorme à la fin — sur 30 ans à 5%, le simple paie 1 500 quand le composé paie 3 322.

La formule n'est pas une idée neuve : c'est une multiplication répétée écrite de façon compacte. Multiplier par 1.05 trois fois, c'est multiplier par 1.05³, et l'exposant ne fait que compter les périodes écoulées. Qui voit cela voit aussi pourquoi la courbe se cambre vers le haut : le multiplicateur de chaque année agit sur un nombre plus grand que celui de l'année d'avant.

Capitaliser plus d'une fois par an répond à la question suivante. Un taux de 6% capitalisé mensuellement, c'est 0.5% douze fois, soit 1.005¹² = 1.0617 — un taux effectif de 6.17%. Capitaliser plus souvent rapporte plus, mais le gain rétrécit vite et s'approche d'un plafond au lieu de croître sans borne.

Comment fonctionne l'arithmétique de l'emprunt ?

Chaque question ci-dessous est de l'intérêt composé posé depuis une autre direction. La valeur temps de l'argent pose le principe : l'argent d'aujourd'hui peut rapporter, donc des montants à des dates différentes sont des choses différentes, incomparables tant que l'un n'a pas été déplacé à la date de l'autre. Actualiser, c'est capitaliser à l'envers — 1 050 dans un an à 5% valent 1 050 ÷ 1.05 = 1 000 aujourd'hui.

La valeur réelle après inflation applique la même actualisation au pouvoir d'achat. Une épargne qui paie 3% pendant que les prix montent de 4% perd environ 1% par an en termes réels — le nombre qui compte, et celui que les taux affichés cachent.

Amortir un emprunt explique l'échéancier qui surprend la plupart des premiers emprunteurs : chaque versement couvre les intérêts courus depuis le précédent, et seul le surplus réduit le solde. Les premiers versements sont surtout des intérêts ; les derniers surtout du capital ; le versement lui-même ne change jamais. La valeur d'une rente est le même flux de versements évalué en bloc, et c'est l'outil pour comparer un capital contre un revenu — une pension, un bail, ou une offre de règlement.

Une question, traitée de bout en bout

Une boutique affiche une veste à 96 après une réduction de 20%, et le prix inclut 9% de taxe. Quel prix catalogue hors taxe la boutique avait-elle fixé ?

Remontez depuis le nombre qu'on vous a donné, en défaisant chaque changement par une division plutôt qu'une soustraction.

Retirez la taxe. 96 représente 109% du prix soldé hors taxe, donc ce prix est 96 ÷ 1.09 = 88.07.
Retirez la remise. 88.07 représente 80% du prix catalogue, donc le prix catalogue est 88.07 ÷ 0.80 = 110.09.
Vérifiez en avant. 110.09 × 0.80 × 1.09 = 96. Les multiplicateurs se composent dans les deux ordres, et c'est la raison pour laquelle la vérification est rapide.

Faire cela en soustrayant 9% puis en rajoutant 20% donne 104.83, et l'erreur n'est pas petite. Chaque étape d'une chaîne de pourcentages est une multiplication, donc chaque étape pour la défaire est une division.

Les quatre erreurs qui méritent un nom

Additionner des pourcentages successifs. 20% de remise puis 10% de remise, c'est 28% de remise, pas 30%. Multipliez les multiplicateurs.
Défaire une remise en la rajoutant. Divisez par le multiplicateur à la place ; la remise était un pourcentage de l'original, pas du prix soldé.
Diviser par le nouveau montant dans une variation. L'original est la référence, toujours.
Confondre pourcentage et point de pourcentage. Un taux qui passe de 4% à 5% monte d'un point de pourcentage — et de 25%.

La suite du chemin

Les décimaux sont des fractions dans une autre notation, alors l'échelle des fractions est la même matière un pas plus tôt. Comparer deux quantités plutôt qu'une part à un tout, c'est ratios, taux et proportion. Et un multiplicateur d'intérêts composés appliqué n fois est une fonction exponentielle — l'endroit où la valeur de position passe enfin le relais à l'algèbre.

S'entraîner dans le jeu

Math Challenge enseigne chaque barreau ci-dessus comme une leçon illustrée, de la grille des dixièmes à l'échéancier d'amortissement, au sein d'un catalogue de plus de 800 leçons. Chacune a une dérivation traitée en images et des exercices qui réenseignent exactement l'étape manquée.

Le thème Pourcentages fait travailler le geste central — un pourcentage d'un nombre — en commençant à 10%, 25% et 50% de nombres commodes et en élargissant à mesure que vous réussissez.

À vous de jouer

Trois à essayer — touchez ce que vous trouvez.

0.35 en pourcentage

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