दशमलव, प्रतिशत और ब्याज

दशमलव, प्रतिशत और ब्याज — तीन टोपियाँ पहने एक ही विषय है। दशमलव वह भिन्न है जिसका हर दस की घात है; प्रतिशत वह भिन्न जिसके हर पर सबकी सहमति है कि सौ रहेगा; और ब्याज वह है जो किसी प्रतिशत को बार-बार लगाने पर होता है।

यह पन्ना वह सीढ़ी सिरे से सिरे तक चलता है, और अपना ज़्यादातर हिस्सा दूर वाले सिरे पर ख़र्च करता है — प्रतिशत परिवर्तन, उलटा प्रतिशत, चक्रवृद्धि और क़र्ज़ का अंकगणित — क्योंकि पैसा वहीं है और ग़लतियाँ वहीं महँगी हैं। दशमलव अंकगणित का सीधा तरीक़ा चाहिए हो, तो दशमलव की गाइड और प्रतिशत की गाइड वे सवाल अपने दम पर सुलझाती हैं।

दशमलव स्थानों का मतलब

बिंदु के दाएँ हर क़दम दस गुना छोटा है, ठीक जैसे उसके बाएँ हर क़दम दस गुना बड़ा। दशमलव दशांश से मिलवाता है, शतांश अगले स्तंभ से, और सहस्रांश उससे अगले से — तब तक पैटर्न ख़ुद पढ़ाने लगता है।

3.47 = 3 इकाई + 4 दशांश + 7 शतांश.

दशमलवों की तुलना वह ग़लती निपटाता है जो बाक़ी सबसे ज़्यादा जीती है: ज़्यादा अंक यानी बड़ा नहीं। 0.9 > 0.35, क्योंकि नौ दशांश साढ़े तीन दशांश से बड़े हैं। बराबर लंबाई तक शून्य जोड़ना — 0.90 बनाम 0.35 — बात ज़ाहिर कर देता है। और 0.5 यानी आधा देखते ही पहचानने लायक़ मुट्ठी भर मान बिठा देता है, जो रोज़मर्रा के ज़्यादातर सवालों से अंकगणित हटा देता है।

दशमलव को 10 और 100 से गुणा-भाग वह पाठ है जो “शून्य लगा दो” की जगह एक सच्ची बात रखता है: अंक खिसकते हैं और बिंदु अपनी जगह रहता है। पूर्ण संख्याओं में यह फ़र्क़ अदृश्य है और बिंदु आते ही निर्णायक।

चारों संक्रियाएँ

जोड़ का नियम बिंदु की सीध है, और स्तंभों में जोड़ तथा स्तंभों में घटाव उसे लिखित काम तक ले जाते हैं। $3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. बिंदु मिलाने से दशांश के नीचे दशांश आते हैं; दाएँ सिरे मिलाने से दशांश शतांश में जुड़ जाते हैं।

दशमलव स्थान गिनना गुणा है: बिंदुओं को अनदेखा कर गुणा कीजिए, फिर दोनों गुणनखंडों के दशमलव स्थान गिनकर बिंदु उतना भीतर रखिए। 0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → दो स्थान → 0.12.

दशमलव का भाग पूर्ण संख्या से भाग सँभालता है, जहाँ बिंदु सीधा ऊपर उत्तर में चढ़ जाता है। दशमलव से भाग दूसरी सूरत को दोनों संख्याएँ तब तक बढ़ाकर सँभालता है जब तक भाजक पूर्ण न हो जाए: $12÷0.4\to 120÷4=30$12 ÷ 0.4 → 120 ÷ 4 = 30। उत्तर का 12 से बड़ा होना सही है — छोटे-छोटे बहुत सारे टुकड़े किसी चीज़ में समा जाते हैं।

एक और दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकन अंकगणित की कड़ी पूरी करता है: फ़ैसला एक अंक करता है — जो स्थान रख रहे हैं, उसके ठीक बाद वाला।

प्रतिशत क्या है?

प्रतिशत वह भिन्न है जिसका हर 100 पर बाँध दिया गया है — इसी से कोई भी दो प्रतिशत एक नज़र में तुलनीय हो जाते हैं। प्रतिशत वहीं से शुरू करता है, और भिन्न, दशमलव और प्रतिशत वह बदलाव-सारणी है जो इस पन्ने की तीनों लिखावटों को बाँधती है।

प्रतिशत निकालना बुनियादी चाल है, और मानसिक रास्ता अटपटों को आसानों से बनाना है: 10% दस से भाग देकर, 5% उसका आधा करके, 1% सौ से भाग देकर। 240 का 35% → 24 + 24 + 24 + 12 = 84. प्रतिशत से तुलना बताता है कि प्रतिशत हैं ही क्यों — 25 में से 18 और 40 में से 26 की ऊँच-नीच तब तक मुश्किल है जब तक वे 72% और 65% नहीं बन जाते।

प्रतिशत परिवर्तन कैसे निकालें?

एक अकेली संख्या से गुणा कीजिए। 15% की बढ़त यानी × 1.15; 15% की कमी यानी × 0.85। प्रतिशत वृद्धि और प्रतिशत की छूट दोनों “हिस्सा निकालो, फिर जोड़ो या घटाओ” वाले दो-क़दमी तरीक़े पर गुणक की वक़ालत करते हैं।

240 पर 15% की बढ़त → 240 × 1.15 = 276. 80 पर 15% छूट → 80 × 0.85 = 68.

प्रतिशत परिवर्तन इसे उलटा चलाता है — दो रक़मों से प्रतिशत निकालना: बदलाव को मूल से भाग दीजिए, नई क़ीमत से कभी नहीं। $40\to 50$40 → 50 यानी 10/40 = 25% ऊपर; $50\to 40$50 → 40 यानी 10/50 = 20% नीचे. वही दस, दो अलग प्रतिशत — क्योंकि संदर्भ खिसक गया।

उलटा प्रतिशत

उलटा प्रतिशत वह है जिस पर धीमा होना चाहिए, क्योंकि ग़लत तरीक़ा इतने क़रीब पहुँचता है कि सही लगे। कोई कोट 15% छूट के बाद 68 का हो, तो 68 मूल का 85% है, यानी मूल है 68 ÷ 0.85 = 80। 68 का 15% जोड़ने से 78.20 आता है — ग़लत, क्योंकि छूट कभी बिक्री-क़ीमत का प्रतिशत थी ही नहीं।

अवमूल्यन वही गुणक बार-बार नीचे की ओर लगाता है। साल में 18% खोती कार हर साल × 0.82 होती है, तो तीन साल बाद उसके पास बचता है $0.82^3\approx 0.551$0.82³ ≈ 0.551 — क़ीमत का लगभग 55%, न कि वह 46% जो 18% तीन बार घटाने से निकलता।

साधारण ब्याज या चक्रवृद्धि ब्याज?

साधारण ब्याज हमेशा मूल रक़म पर गिना जाता है; चक्रवृद्धि ब्याज शेष पर, तो ब्याज ब्याज कमाता है। साधारण ब्याज सीधी-रेखा वाली सूरत देता है: 1,000 पर 5% से 3 साल यानी 50 × 3 = 150।

चक्रवृद्धि ब्याज हर अवधि में एक बार लगा गुणक है: 1,$000\times 1.05^3=1$000 × 1.05³ = 1,157.63, यानी 157.63 का ब्याज। साधारण बनाम चक्रवृद्धि ब्याज दोनों को अग़ल-बग़ल रखता है, और ईमानदार सार यह है कि फ़ासला शुरू में मामूली है और देर से बहुत बड़ा — 5% पर 30 साल में साधारण 1,500 देता है और चक्रवृद्धि 3,322।

साल में एक से ज़्यादा बार चक्रवृद्धि अगला सवाल सुलझाता है। मासिक चक्रवृद्धि वाली 6% दर का मतलब है 0.5% बारह बार, यानी $1.005^{12}=1.0617$1.005¹² = 1.0617 — प्रभावी 6.17%। ज़्यादा बार चक्रवृद्धि ज़्यादा देती है, पर बढ़त जल्दी सिकुड़ती है और बिना हद बढ़ने के बजाय एक छत के पास पहुँचती है।

उधार का अंकगणित कैसे चलता है?

नीचे का हर सवाल अलग दिशा से पूछा गया चक्रवृद्धि ब्याज है। पैसे का समय-मूल्य सिद्धांत रखता है: अभी का पैसा प्रतिफल कमा सकता है, तो अलग-अलग तारीख़ों की रक़में अलग चीज़ें हैं और तब तक तुलनीय नहीं जब तक एक को दूसरी की तारीख़ पर न ले आया जाए। बट्टा लगाना उलटा चलाया चक्रवृद्धि है — साल भर बाद के 1,050 की क़ीमत 5% पर आज 1,050 ÷ 1.05 = 1,000 है।

मुद्रास्फीति के बाद असल क़ीमत वही बट्टा ख़रीदने की ताक़त पर लगाता है। 3% देती बचत, जब क़ीमतें 4% चढ़ रही हों, असल में साल का क़रीब 1% खो रही है — यही वह संख्या है जो मायने रखती है और जिसे सुर्ख़ियों वाली दरें छिपाती हैं।

क़र्ज़ का परिशोधन वह भुगतान-तालिका समझाता है जो ज़्यादातर पहली बार के क़र्ज़दारों को चौंकाती है: हर किस्त पिछली किस्त से अब तक चढ़ा ब्याज चुकाती है, और जो बचता है सिर्फ़ वही मूलधन घटाता है। शुरुआती किस्तें ज़्यादातर ब्याज हैं; आख़िरी ज़्यादातर मूलधन; किस्त ख़ुद कभी नहीं बदलती। वार्षिकी की क़ीमत वही भुगतान-धारा एकमुश्त आँकी हुई है — इकट्ठा पैसे की आमदनी से तुलना का औज़ार: पेंशन, पट्टा, या समझौते की पेशकश।

एक सवाल, सिरे से सिरे तक हल

दुकान 20% की सेल-छूट के बाद एक जैकेट 96 की लगाती है, और क़ीमत में 9% कर शामिल है। दुकान ने कर-पूर्व सूची-क़ीमत क्या रखी थी?

मिली हुई संख्या से बाहर की ओर चलिए — हर बदलाव को घटाव से नहीं, भाग से खोलते हुए।

• कर हटाइए। 96 कर-पूर्व सेल-क़ीमत का 109% है, तो वह क़ीमत है 96 ÷ 1.09 = 88.07।
• छूट हटाइए। 88.07 सूची-क़ीमत का 80% है, तो सूची-क़ीमत है 88.07 ÷ 0.80 = 110.09।
• आगे की ओर जाँचिए। 110.09 × 0.80 × 1.09 = 96. गुणक किसी भी क्रम में जुड़ते हैं — जाँच इसीलिए झटपट है।

यही काम 9% घटाकर और फिर 20% वापस जोड़कर करने से 104.83 आता है, और चूक छोटी नहीं है। प्रतिशत की कड़ी का हर क़दम गुणा है, तो उसे खोलने का हर क़दम भाग है।

चार ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

• लगातार प्रतिशतों को जोड़ना। 20% छूट पर 10% छूट यानी 28% छूट, 30% नहीं। गुणकों को गुणा कीजिए।
• छूट को वापस जोड़कर उलटना। गुणक से भाग दीजिए; छूट मूल का प्रतिशत थी, बिक्री-क़ीमत का नहीं।
• प्रतिशत परिवर्तन में नई रक़म से भाग देना। संदर्भ हमेशा मूल है।
• प्रतिशत और प्रतिशत-बिंदु गड्डमड्ड करना। 4% से 5% गई दर एक प्रतिशत-बिंदु ऊपर है — और 25% ऊपर भी।

यह आगे कहाँ ले जाता है

दशमलव दूसरी लिखावट में भिन्न ही हैं, तो भिन्नों की सीढ़ी वही सामग्री एक क़दम पहले है। हिस्से की पूरे से नहीं, दो मात्राओं की आपसी तुलना अनुपात, दर और समानुपात (अंग्रेज़ी में) है। और n बार लगा चक्रवृद्धि गुणक एक चरघातांकी फलन है — वहीं स्थानीय मान आख़िरकार बीजगणित को कमान सौंपता है।

खेल में अभ्यास

Math Challenge ऊपर का हर पायदान सचित्र पाठ की तरह सिखाता है — दशांश की जाली से परिशोधन-तालिका तक — 800+ पाठों की सूची के भीतर। हर पाठ में चित्रों वाली हल की हुई व्युत्पत्ति है और अभ्यास-प्रश्न जो ठीक वही क़दम दोबारा सिखाते हैं जो छूटा।

प्रतिशत विषय बुनियादी चाल का अभ्यास कराता है — किसी संख्या का प्रतिशत — शुरुआत सुविधाजनक संख्याओं के 10%, 25% और 50% से, और सही उत्तरों के साथ दायरा चौड़ा होता हुआ।

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