소수·백분율·이자
소수와 백분율과 이자는 모자 셋을 쓴 한 과목입니다. 소수는 분모가 10의 거듭제곱인 분수. 백분율은 분모를 100으로 하자고 모두가 정한 분수. 그리고 이자는 백분율을 거듭거듭 얹을 때 일어나는 일입니다.
이 페이지는 그 사다리를 끝에서 끝까지 달리고, 길이의 대부분을 먼 끝 — 백분율 증감, 거꾸로 백분율, 복리, 대출의 산수 — 에 씁니다. 돈이 거기 있고, 실수가 비싼 곳도 거기이기 때문입니다. 소수 연산 자체의 방법이 필요하면 소수 가이드와 백분율 가이드가 따로따로 답합니다.
소수 자리는 무엇을 뜻하는가
점 오른쪽으로 한 걸음마다 10분의 1, 점 왼쪽으로 한 걸음마다 10배 — 똑같은 규칙입니다. 소수가 10분의 1 자리를, 100분의 1 자리가 다음 자리를, 1000분의 1 자리가 그다음을 소개할 때쯤에는 가르치는 것은 무늬 그 자체가 되어 있습니다.
3.47 = 일이 3 + 10분의 1이 4 + 100분의 1이 7.
소수 크기 비교가 다른 어떤 실수보다 오래 사는 실수에 결말을 냅니다. 자릿수가 많다고 큰 것이 아닙니다. 0.9 > 0.35. 10분의 9는 10분의 3과 반을 이기니까요. 0을 붙여 길이를 맞추면 — 0.90 대 0.35 — 분명해집니다. 그리고 0.5 는 절반이 보자마자 알아야 할 한 줌을 다져서, 일상 질문 대부분에서 계산을 걷어 냅니다.
10배·100배와 10분의 1·100분의 1은 "0 붙이기"를 참인 것으로 바꿔치우는 수업입니다. 숫자가 옮겨 가고 점은 제자리에 있습니다. 그 구별은 자연수에서는 보이지 않고, 점이 나타나는 순간 결정적이 됩니다.
사칙연산
덧셈의 규칙은 점 맞추기이고, 세로로 더하기와 세로로 빼기가 그것을 세로셈으로 나릅니다. . 점을 맞추면 10분의 1 위에 10분의 1이 놓입니다. 오른쪽 끝을 맞추면 10분의 1에 100분의 1을 더하게 됩니다.
소수 자리 세기가 곱셈입니다. 점을 무시하고 곱한 뒤, 두 수의 소수 자리를 세어 그만큼 점을 넣습니다. 0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → 두 자리 → 0.12.
소수 나누기는 자연수로 나누는 경우를 맡고, 점은 답으로 곧장 올라갑니다. 소수로 나누기는 나머지 경우를, 나누는 수가 자연수가 될 때까지 둘 다 키우는 것으로 다룹니다. . 답이 12보다 큰 것은 맞습니다 — 작은 조각은 많이 들어갑니다.
소수 첫째·둘째 자리 반올림이 연산을 닫습니다. 결정하는 것은 한 글자, 남기는 자리 바로 다음 숫자입니다.
백분율이란 무엇인가
백분율은 분모를 100에 고정한 분수이고, 그래서 어느 둘이든 한눈에 비교할 수 있습니다. 백분율이 거기서 시작하고, 분수·소수·백분율이 이 페이지의 세 표기를 묶는 변환표입니다.
| 분수 | 소수 | 백분율 |
|---|---|---|
| 0.5 | 50% | |
| 0.25 | 25% | |
| 0.2 | 20% | |
| 0.125 | 12.5% | |
| 0.333… | 33.3% |
백분율 구하기가 중심 동작이고, 암산의 길은 까다로운 것을 쉬운 것들로 쌓는 것입니다. 10%는 10으로 나누기, 5%는 그 절반, 1%는 100으로 나누기. 240의 35% → 24 + 24 + 24 + 12 = 84. 백분율로 비교하기는 백분율이 존재하는 이유 그 자체입니다 — 25 중 18과 40 중 26은 72%와 65%가 되기 전에는 순위 매기기 어렵습니다.
백분율 증감은 어떻게 계산하는가
수 하나를 곱합니다. 15% 인상은 × 1.15, 15% 인하는 × 0.85. 백분율 증가와 백분율 깎기 둘 다 "부분을 구해 더하거나 빼기"의 두 단계 방식보다 곱수 편에 섭니다.
240이 15% 오르면 → 240 × 1.15 = 276. 80이 15% 할인되면 → 80 × 0.85 = 68.
증감 백분율은 거꾸로 돌려 두 금액에서 백분율을 구합니다. 변화를 원래 금액으로 나눕니다. 새 값으로 나누면 안 됩니다. 은 10/40 = 25% 증가. 은 10/50 = 20% 감소. 같은 10인데 백분율이 둘인 것은 기준이 움직였기 때문입니다.
거꾸로 백분율
거꾸로 백분율은 걸음을 늦출 만한 곳입니다. 틀린 방법이 옳아 보일 만큼 가까이 오기 때문입니다. 코트가 15% 할인 뒤 68이라면 68은 원래 값의 85%이므로 원래 값은 68 ÷ 0.85 = 80. 68의 15%를 더하면 78.20 — 틀렸습니다. 할인은 세일 가격의 백분율이었던 적이 없기 때문입니다.
감가는 같은 곱수를 아래 방향으로 되풀이 얹습니다. 해마다 18% 잃는 차는 매년 × 0.82 라서 3년 뒤에는 — 값의 약 55%를 지킵니다. 18%를 세 번 빼면 나올 것 같은 46%가 아닙니다.
단리인가, 복리인가
단리는 언제나 처음 금액에 대해 계산되고, 복리는 잔액에 대해 계산되어 이자가 이자를 법니다. 단리가 곧은 선의 경우를 줍니다. 1,000을 5%로 3년이면 50 × 3 = 150.
복리는 곱수를 기간마다 한 번씩 얹은 것입니다. 1,,157.63, 곧 이자 157.63. 단리 대 복리가 둘을 나란히 놓는데, 정직한 요약은 이렇습니다. 차이는 처음에는 심심하고 나중에는 어마어마하다 — 5%로 30년이면 단리는 1,500을, 복리는 3,322를 줍니다.
한 해에 여러 번 복리가 다음 질문에 답합니다. 다달이 복리가 붙는 6%란 0.5%를 열두 번이라는 뜻이고, — 실효 6.17%입니다. 더 자주 붙을수록 더 주지만, 이득은 금세 줄고 한없이 크는 대신 천장에 다가갑니다.
빌리는 돈의 산수는 어떻게 되는가
아래의 모든 질문은 방향을 바꿔 물은 복리입니다. 돈의 시간 가치가 원리를 세웁니다. 지금의 돈은 수익을 낼 수 있으니 날짜가 다른 금액은 서로 다른 것이고, 한쪽을 다른 쪽의 날짜로 옮기기 전에는 비교할 수 없습니다. 할인은 복리를 거꾸로 돌린 것입니다 — 5%일 때 1년 뒤의 1,050은 오늘 1,050 ÷ 1.05 = 1,000의 값어치.
물가 상승 뒤의 실질 가치는 같은 할인을 살 수 있는 힘에 얹습니다. 3% 주는 저축은 물가가 4% 오르는 동안 실질로는 해마다 약 1%씩 잃고 있습니다. 그것이 중요한 숫자이고, 헤드라인 금리가 감추는 숫자입니다.
대출 상환은 첫 대출자 대부분을 놀라게 하는 상환 일정을 설명합니다. 매번의 납입은 지난번 이후 쌓인 이자를 먼저 갚고, 남는 것만 잔액을 줄입니다. 이른 납입은 대부분 이자, 늦은 납입은 대부분 원금 — 그리고 납입액 자체는 결코 변하지 않습니다. 연금의 가치는 같은 납입의 흐름을 통째로 하나의 값으로 재는 것이고, 목돈과 수입 — 연금, 임대, 합의금 제안 — 을 비교하는 도구입니다.
한 문제를 끝에서 끝까지
어느 가게가 재킷을 20% 세일 인하 뒤 96으로 표시했고, 이 가격에는 9% 세금이 들어 있습니다. 가게가 매긴 세전 정가는 얼마였을까요?
받은 숫자에서 바깥으로, 각 변화를 뺄셈이 아니라 나눗셈으로 풀어 나갑니다.
- 세금을 벗긴다. 96은 세전 세일 가격의 109%이므로 그 가격은 96 ÷ 1.09 = 88.07.
- 할인을 벗긴다. 88.07은 정가의 80%이므로 정가는 88.07 ÷ 0.80 = 110.09.
- 앞으로 확인한다. 110.09 × 0.80 × 1.09 = 96. 곱수는 어느 순서로든 이어 붙으니, 확인이 빠른 이유가 그것입니다.
이것을 "9%를 빼고 20%를 도로 더하기"로 하면 104.83이 나오고, 오차는 작지 않습니다. 백분율 사슬의 걸음마다 곱셈이니, 푸는 걸음마다 나눗셈입니다.
이름을 붙여 둘 만한 실수 넷
- 잇단 백분율을 더하기. 20% 할인 뒤 10% 할인은 28% 할인이지 30%가 아닙니다. 곱수를 곱합니다.
- 할인을 도로 더해 되돌리기. 대신 곱수로 나눕니다. 할인은 원래 값의 백분율이지 세일 가격의 백분율이 아닙니다.
- 증감 백분율에서 새 금액으로 나누기. 기준은 언제나 원래 금액입니다.
- 백분율과 퍼센트포인트를 섞기. 금리가 4%에서 5%로 움직이면 1퍼센트포인트 상승 — 그리고 25% 상승입니다.
다음으로 이어지는 곳
소수는 표기를 바꾼 분수라서 분수 사다리는 같은 재료의 한 걸음 앞입니다. 부분 대 전체가 아니라 두 양을 비교하는 것은 비·비율·비례. 그리고 복리 곱수를 n번 얹은 것은 지수함수 — 자릿값이 마침내 대수에 바통을 넘기는 자리입니다.
게임으로 연습하기
Math Challenge는 위의 모든 계단을 그림 수업으로 가르칩니다. 10분의 1 격자 그림부터 상환 일정표까지, 800개 넘는 카탈로그 안에서. 어느 것에나 그림과 함께 차근차근 이끄는 풀이와, 놓친 바로 그 걸음을 다시 가르치는 연습 문제가 있습니다.
백분율 주제는 중심 동작 — 수의 몇 퍼센트 — 을 단련합니다. 다루기 좋은 수의 10%, 25%, 50%에서 시작해 맞힐수록 폭이 넓어집니다.
이제 당신 차례
세 문제 — 정답이라고 생각하는 것을 누르세요.
0.35를 백분율로 나타내면
연 5% 단리로 $200을 넣으면, 1년 동안 버는 이자는
$50에서 20% 할인 — 얼마를 내나요?