Les nombres entiers et la valeur de position
Dix chiffres écrivent tous les nombres entiers qui ont jamais existé. Ce n'est ni une coïncidence ni une convention qu'on aurait pu choisir autrement sans peine — c'est une seule idée, appliquée encore et encore : la valeur d'un chiffre dépend de l'endroit où il se trouve, et chaque colonne vaut dix fois celle qui est à sa droite.
Cette page suit cette idée du premier comptage jusqu'au million, puis jusqu'aux deux choses que les gens trouvent véritablement délicates — arrondir au bon niveau de détail, et les nombres en dessous de zéro. Chaque règle vient avec un exemple traité et la raison qui la tient.
Qu'est-ce que la valeur de position, et pourquoi compte-t-elle ?
La valeur de position est la règle selon laquelle la position porte la taille. Dans 3 507, le 3 vaut trois mille, le 5 vaut cinq cents, le 0 tient ouverte la colonne des dizaines, et le 7 vaut sept unités. Les chiffres comptent ; les colonnes pèsent.
Les enfants la rencontrent par étapes, et chaque étape est un vrai pas plutôt qu'un simple prolongement. Le comptage vient d'abord : Compter jusqu'à dix établit que le dernier mot prononcé dit combien il y en a, et Un et un fait de la première addition une image plutôt qu'un fait à mémoriser. Écrire les nombres jusqu'à vingt est l'endroit où le symbole écrit et le mot parlé s'apparient, ce qui représente une somme de travail surprenante pour un enfant de cinq ans — quatorze ne dit ni n'écrit ses chiffres dans un ordre évident.
La comparaison arrive en même temps que le comptage plutôt qu'après. Plus et moins enseigne la comparaison en appariant les objets un à un, si bien que la réponse ne dépend pas d'un comptage exact. Et les compléments — Les compléments à cinq, puis Les compléments à dix — forment le petit stock de faits sur lequel tout le reste s'appuie, parce que dix est le nombre autour duquel le système entier est construit.
Comment un nombre dépasse-t-il dix ?
En groupant. Dix unités deviennent une dizaine, et la dizaine prend sa propre colonne. Dizaines et unités est la leçon où ce groupement devient visible, et Compter jusqu'à cent celle où le motif se répète assez souvent pour qu'on y croie.
Puis cela recommence, à l'identique. Dix dizaines font une centaine (Les centaines), dix centaines font un millier (Le cube de mille, qui dessine le millier comme un bloc massif pour que le saut depuis la centaine plate soit quelque chose que l'on voit), et le même geste répété trois fois de plus atteint le million — le sujet de Les nombres jusqu'au million.
| Millions | Centaines de milliers | Dizaines de milliers | Milliers | Centaines | Dizaines | Unités |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 2 | 0 | 7 | 0 | 0 | 0 |
4 207 000 se lit quatre millions deux cent sept mille. Les espaces ne sont pas une décoration — ils groupent les chiffres par trois pour que le mot mille et le mot million tombent au bon endroit quand on lit à voix haute.
Comment arrondit-on un nombre, et à quoi ?
Regardez le seul chiffre juste après la position que vous gardez : cinq ou plus fait monter, quatre ou moins laisse en place. Tout ce qui est à droite de la position gardée devient zéro.
3 470 à la centaine la plus proche → le chiffre des dizaines est . 3 428 à la centaine la plus proche → le chiffre des dizaines est .
Arrondir à la dizaine la plus proche commence sur une droite graduée, où « arrondir vers le haut ou le bas » est visiblement une question de repère le plus proche, et Arrondir à la centaine et au millier montre le même geste glissant d'une colonne vers la gauche sans changer.
Quand utilise-t-on plutôt les chiffres significatifs ?
Quand la taille du nombre n'est pas connue d'avance. Les décimales se comptent depuis le point ; les chiffres significatifs se comptent depuis le premier chiffre non nul, alors ils gardent la même proportion de détail, que le nombre soit un million ou un millième. Les chiffres significatifs rend la règle de comptage précise, y compris les zéros de tête qui ne comptent jamais et ceux de queue qui comptent parfois.
Un seul chiffre significatif suffit à vérifier presque n'importe quel calcul avant de lui faire confiance — Estimer à un chiffre significatif transforme 38 × 512 en 40 × 500 = 20 000 en une seconde, tout ce qu'il faut pour attraper une réponse sortie à 1 945 ou 194 560. Le guide de l'estimation approfondit cette habitude.
Arrondir a aussi un coût, et ce coût s'énonce exactement. Bornes et intervalles d'erreur montre qu'une longueur relevée à 24 cm au centimètre près se trouve en réalité quelque part dans 23.5 ≤ x < 24.5, et L'erreur en pourcentage change cet écart en proportion — la forme qui permet de comparer une erreur sur un pont avec une erreur sur un boulon.
Que sont les nombres négatifs ?
Les nombres négatifs sont ce qu'on obtient quand la droite graduée ne s'arrête pas à zéro. Ils sont aussi réels que les positifs et obéissent exactement aux mêmes règles — la gêne tient entièrement à la direction, et elle se dissipe dès que la direction est ce que vous suivez.
Sous zéro les introduit là où ils habitent déjà pour la plupart des gens : la température, les étages en sous-sol, l'argent dû. Ordonner les nombres négatifs fixe ensuite la comparaison qui attrape tout le monde — −7 est plus petit que −3, parce qu'il est plus bas, même si 7 est plus grand que 3.
Additionner et soustraire en traversant zéro
L'addition va vers la droite et la soustraction vers la gauche, de quelque côté de zéro que l'on parte. Additionner et soustraire en traversant zéro travaille les traversées : −4 + 7 = 3, c'est quatre pas pour remonter à zéro et trois de plus au-delà.
Soustraire un négatif est le geste qui réclame une raison plutôt qu'une règle, et Soustraire des nombres négatifs en donne deux. La première est une suite : 5 − 1 = 4, 5 − 0 = 5, 5 − (−1) = 6, qui grimpe d'un à chaque pas sans trou là où le signe change. La seconde est un sens : retirer une dette de trois vous laisse trois de mieux, donc 5 − (−3) = 8.
La valeur absolue est l'outil des moments où seule la distance compte. |−7| = 7 — à quelle distance de zéro, pas dans quel sens — et c'est elle qui permet d'écrire une tolérance une fois au lieu de deux.
Pourquoi deux négatifs se multiplient en positif
Parce que multiplier par un négatif renverse la direction, et se renverser deux fois vous laisse face à l'avant. Multiplier et diviser des nombres négatifs montre le même argument sous la forme d'une suite qui refuse de se briser :
3 × (−2) = −6, 2 × (−2) = −4, 1 × (−2) = −2, 0 × (−2) = 0. Chaque réponse dépasse la précédente de 2. Maintenir cette montée régulière donne (−1) × (−2) = 2.
Les quatre erreurs qui méritent un nom
- Lire les zéros comme du rien. Un zéro tient une colonne ouverte. Le retirer de 4 207 000 ne raccourcit pas le nombre, il le rétrécit d'un facteur dix mille.
- Arrondir en deux temps. 3 449 à la centaine la plus proche, c'est 3 400. Passer d'abord à 3 450 puis à 3 500 laisse un chiffre voter deux fois.
- Traiter −7 comme plus grand que −3. Plus loin de zéro n'est pas plus haut. Comparez des positions sur la droite, pas des tailles avec un signe collé dessus.
- Compter les zéros de tête comme significatifs. 0.00427, c'est trois chiffres significatifs, pas cinq. La signification commence au premier chiffre qui n'est pas un zéro.
La suite du chemin
La valeur de position est la fondation sur laquelle tiennent les méthodes posées : la retenue et l'emprunt sont la valeur de position en mouvement, et le guide des méthodes de calcul de tête et posées les travaille en détail. Prolonger les colonnes à droite des unités, au lieu de la gauche, donne les dixièmes et les centièmes — le sujet du guide des décimaux et de l'échelle plus complète décimaux, pourcentages et intérêts. Et demander quels entiers divisent lesquels mène vers facteurs, multiples et nombres premiers.
S'entraîner dans le jeu
Math Challenge est un jeu de calcul mental avec une leçon illustrée pour chaque étape ci-dessus — des images, une dérivation traitée, et des exercices qui réenseignent exactement la question manquée plutôt qu'une question voisine. Les leçons nommées sur cette page font partie d'un catalogue de plus de 800 sur toute l'échelle, du premier comptage aux sujets d'entrée à l'université.
Pour de l'entraînement pur plutôt que de la lecture, le thème Nombres négatifs fait tourner les règles des signes jusqu'à ce qu'elles ne demandent plus de réflexion, et Arrondir fait de même pour les décisions de position.
À vous de jouer
Trois à essayer — touchez ce que vous trouvez.
Que vaut le 7 dans 3,742 ?
Arrondissez 4,861 à la centaine la plus proche.
Lequel est le plus grand ?