मानसिक गणित की 36 तरकीबें, और हर एक क्यों चलती है
जिस मानसिक-गणित तरकीब के पीछे कोई कारण नहीं, वह रटी जाती है और फिर भूल जाती है। नीचे की हर तरकीब भेस पहने हुए एक बीजगणितीय सर्वसमिका है — और सर्वसमिका दिखने लगे, तो तरकीब को आप सिरे से दोबारा गढ़ सकते हैं और, उससे भी काम की बात, बता सकते हैं कि वह कब लागू होती है।
ये Math Challenge के 36 पाठ हैं, पूरी सूची में। का ठप्पा उन छह पर है जिनके लिए कुछ ख़रीदना नहीं पड़ता; उनमें से हर एक सीधे अपने अभ्यास-मोड में ले जाता है।
छोटा रूप चाहिए तो मानसिक गणित की तरकीबों वाली गाइड सबसे ज़्यादा सामने आने वाली दर्जन भर तरकीबें ज़्यादा जगह देकर समझाती है।
गुणा — 14 तरकीबें
इनमें से लगभग सब एक ही चाल हैं: अटपटी संख्या के बदले पास की सुविधाजनक संख्या, फिर सुधार।
5 से गुणा
48 × 5 → 48 का आधा 24 → 2405, 10 का आधा है, तो ×5 यानी ×10 करके आधा — और दहाई-आधारित प्रणाली में 10 से गुणा सबसे आसान है।
9 से गुणा
48 × 9 → 480 − 48 = 4329 यानी 10 − 1, तो दस बार लीजिए और एक बार लौटा दीजिए। 9 के पहाड़े के हर उत्तर के अंकों का योग 9 भी इसीलिए होता है।
11 से गुणा
43 × 11 → 4 (4+3) 3 → 47311 यानी 10 + 1, तो 43 × 11 है 430 + 43। सीध में रखने पर दहाई का स्तंभ 4 + 3 बन जाता है — “योग बीच में” वाला नियम वही जोड़ है, पहले से किया हुआ; योग 10 तक पहुँचे तो हासिल भी इसीलिए लगता है।
12 से गुणा
34 × 12 → 340 + 68 = 40812 यानी 10 + 2: दस बार, ऊपर से दुगुना।
15 से गुणा
34 × 15 → 340 + 170 = 51015 यानी 10 + 5, और 5, 10 का आधा है — तो ×10 कीजिए, फिर जो बनाया उसका आधा जोड़ दीजिए।
25 से गुणा
32 × 25 → 32 का चौथाई 8 → 80025, 100 का चौथाई है। संख्या का चौथाई कीजिए, फिर 100 से गुणा।
99 का नियम
43 × 99 → 4300 − 43 = 425799 यानी 100 − 1। ×9 वाली ही शक्ल, एक स्थानीय मान ऊपर।
101 का नियम
43 × 101 → 4343101 यानी 100 + 1, तो मिलता है 4300 + 43। संख्या 100 से नीचे है, इसलिए दोनों प्रतियाँ कभी टकराती नहीं — उत्तर बस वही संख्या दो बार लिखी हुई है।
दुगुना-आधा
14 × 45 → 7 × 90 = 630एक गुणनखंड दुगुना और दूसरा आधा करना 2 से गुणा और 2 से भाग है, तो गुणनफल हिल ही नहीं सकता। तब तक दोहराइए जब तक एक तरफ़ मनपसंद संख्या न आ जाए।
वर्गों का अंतर
98 × 102 → 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996किसी सुविधाजनक बीच के दोनों ओर बराबर दूरी वाली दो संख्याएँ (m − d) और (m + d) हैं, और उनका गुणनफल हमेशा m² − d² होता है।
तिरछा गुणा
23 × 12 → 2×1 | 2×2 + 3×1 | 3×2 → 2 | 7 | 6 → 276यह (20 + 3)(10 + 2) का साधारण विस्तार ही है, लिख-लिखकर फैलाने के बजाय स्थानीय मान से समेटा हुआ। बाएँ से दाएँ एक ही चक्कर, बीच की कोई पंक्ति नहीं।
100 से ज़रा ऊपर
104 × 106 → 104 + 6 = 110 → 11000, और 4 × 6 = 24 → 11024(100 + a)(100 + b) = 10000 + 100(a + b) + ab। पहला क़दम सैकड़े सँभालता है, दूसरा बची-खुची।
100 के पास, नीचे से गुणा
97 × 94 → 97 − 6 = 91 → 9100, और 3 × 6 = 18 → 9118(100 − a)(100 − b) = 10000 − 100(a + b) + ab — वही सर्वसमिका उलटे चिह्न के साथ; इसीलिए दूसरी संख्या की दूरी जोड़ने के बजाय घटाई जाती है।
5 पर ख़त्म, दस के फ़ासले पर
35 × 45 → 3 × 5 = 15 → 1575(10n + 5)(10n + 15) खुलकर 100 × n(n + 2) + 75 बनता है, तो नियम है “दहाई का अंक गुणा उससे दो ज़्यादा, फिर 75”। जाँच लीजिए: ।
वर्ग — 5 तरकीबें
इनमें से हर एक किसी गोल संख्या पर लंगर डालती है और छोटे वर्ग से सुधार करती है।
5 पर ख़त्म होने वाली संख्याओं का वर्ग
65 × 65 → 6 × 7 = 42 → 42255 पर ख़त्म होने वाली संख्या 10n + 5 है, और (10n + 5)² = 100n(n + 1) + 25। नियम हू-ब-हू यही है: n गुणा उससे अगली संख्या, फिर अंत में 25।
100 के पास के वर्ग
96² → 96 − 4 = 92 → 9200, और 4² = 16 → 9216(100 − d)² = 100(100 − 2d) + d²। दूरी एक बार घटाने से सैकड़े मिल जाते हैं; दूरी का वर्ग ही बचा हुआ है।
50 के दशक के वर्ग
54² → 25 + 4 = 29 → 2900, और 4² = 16 → 2916(50 + d)² = 2500 + 100d + d² = 100(25 + d) + d²। 25 इसलिए है कि यानी 2500।
40 के दशक के वर्ग
48² → 25 − 2 = 23 → 2300, और 2² = 4 → 2304वही सर्वसमिका, ऊपर से उतरते हुए: (50 − d)² = 100(25 − d) + d²।
1000 के पास के वर्ग
996² → 996 − 4 = 992 → 992000, और 4² = 16 → 992016(1000 − d)² = 1000(1000 − 2d) + d²। 100 के पास वाली तरकीब, एक स्थानीय मान ऊपर।
भाग — 3 तरकीबें
5 से भाग
130 ÷ 5 → 260 → 265 से भाग यानी 2 से गुणा और 10 से भाग, क्योंकि 5 = 10 ÷ 2। दुगुना करना आसान है और शून्य हटाना मुफ़्त।
25 से भाग
800 ÷ 25 → 3200 → 3225, 100 का चौथाई है, तो ÷25 यानी ×4 फिर ÷100।
3 से भाग
5712 → 5+7+1+2 = 15, विभाज्य → 5712 ÷ 3 = 190410 की हर घात 3 से भाग देने पर शेष 1 छोड़ती है, इसलिए हर अंक चाहे जिस स्तंभ में हो, शेषफल में सिर्फ़ अपने बराबर योगदान देता है। इसीलिए संख्या और उसके अंक-योग का शेष एक होता है, और जाँच ईमानदार है।
जोड़ और घटाव — 3 तरकीबें
उलटी संख्याओं का जोड़
47 + 74 → 11 × (4 + 7) = 121(10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)। उलटने से ही दोनों स्थानीय मान अदला-बदली कर जोड़ी बना लेते हैं।
उलटी संख्याओं का घटाव
82 − 28 → 9 × (8 − 2) = 54(10a + b) − (10b + a) = 9(a − b)। ऐसा हर अंतर 9 का गुणज होता है — यह इत्तिफ़ाक़ नहीं, यही सर्वसमिका है।
1000 में से घटाना
1000 − 473 → 9−4, 9−7, 10−3 → 5271000 यानी 999 + 1, और 999 से कुछ उधार नहीं माँगता। हर अंक 9 में से और आख़िरी 10 में से लीजिए — उधार लेना पूरी तरह ग़ायब।
श्रेणियाँ और अनुक्रम — 2 तरकीबें
क्रमागत विषम संख्याओं का योग
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²हर नई विषम संख्या ठीक वह L-आकार की बाड़ है जो एक वर्ग को अगले वर्ग में बदल देती है। पहली N जोड़िए और आपने N × N का वर्ग खड़ा कर लिया।
1 से N तक का योग (गाउस)
1 + 2 + … + 100 → 100 × 101 ÷ 2 = 5050सिरों की जोड़ी बनाइए: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — पचास जोड़ियाँ, हर एक 101। सूत्र वही जोड़ी-बनाना है, लिखा हुआ।
अनंत और दूरबीनी योग — 2 तरकीबें
दूरबीनी योग
1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/(N×(N+1)) = 1 − 1/(N+1)हर पद 1/n − 1/(n+1) है। इस तरह लिखते ही बीच का हर टुकड़ा अपने पड़ोसी से कट जाता है और सिर्फ़ दोनों सिरे बचते हैं।
ज़ेनो का विरोधाभास
1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1हर क़दम बचे हुए का आधा तय करता है, तो 1 तक का फ़ासला हर बार आधा होता जाता है। क़दम अनगिनत, और दूरी फिर भी चुक जाती है — “अभिसरण” का मतलब यही है।
संख्या सिद्धांत — 5 तरकीबें
घात का अंतिम अंक
7¹, 7², 7³, 7⁴ ख़त्म होते हैं 7, 9, 3, 1 पर — फिर यही दोहराता हैअगले क़दम के इकाई अंक तक सिर्फ़ पिछले क़दम का इकाई अंक पहुँचता है, इसलिए अंतिम अंकों को देर-सबेर चक्र में लौटना ही है। चक्र ढूँढ़िए, फिर घातांक को उसकी जगह तक घटा लीजिए।
गुणनफल का अंतिम अंक
347 × 893 → 7 × 3 = 21 → अंत में 1बाक़ी हर स्थानीय मान 10 का गुणनखंड साथ रखता है, और 10 से गुणा हुई कोई भी चीज़ 0 पर ख़त्म होती है। इकाई के स्तंभ तक सिर्फ़ इकाई के अंक पहुँच सकते हैं।
अंकीय मूल (मॉड 9)
4573 → 4+5+7+3 = 19 → 1+9 = 10 → 1, और 4573 = 9 × 508 + 110 को 9 से भाग देने पर शेष 1 बचता है, और 10 की हर घात के साथ भी यही। इसलिए हर अंक शेषफल में सिर्फ़ अपने बराबर योगदान देता है, चाहे जिस स्तंभ में बैठा हो।
11 से विभाज्यता
2728 → 2 − 7 + 2 − 8 = −11, तो हाँ (2728 = 11 × 248)10 को 11 से भाग देने पर शेष −1 बचता है, तो 10 की घातें +1 और −1 के बीच झूलती हैं। एकांतर योग ठीक वही है।
बड़े घातांकों के चक्र
7¹⁰⁰ → चक्र 4 लंबा है, और 100 में 4 का भाग चलता है → अंत में 1ऊपर वाला ही चक्र, ऐसे घातांक पर इस्तेमाल हुआ जिसे फैलाना नामुमकिन है। घात आप कभी नहीं निकालते — निकालते हैं कि वह चक्कर में कहाँ उतरती है।
भिन्न और सतत भिन्न — 2 तरकीबें
प्रतिशत की पलट
50 का 8% → 8 का 50% = 4दोनों तरफ़ एक ही गुणा है, 8 × 50 ÷ 100, बस पढ़ने का क्रम अलग। इस पर और बात प्रतिशत की गाइड में है।
सतत भिन्न के रूप में स्वर्ण अनुपात
x = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)) → x = 1 + 1/x → x² = x + 1 → x ≈ 1.618इस भिन्न के भीतर उसकी हू-ब-हू प्रति बैठी है, तो पूरी चीज़ का नाम x रखकर उसे उसी में वापस रख सकते हैं। एक अनंत व्यंजक सिमटकर द्विघात बन जाता है।
इस सूची का क्या करें
36 तरकीबें सीखने की कोशिश मत कीजिए। मानसिक अंकगणित में तेज़ लोगों के पास प्रायः मुट्ठी भर तरकीबें होती हैं जो बिना सोचे हाथ आ जाती हैं — बाक़ी सब वे निकाल लेते हैं।
दो-तीन ऐसी चुनिए जो आपके असल सवालों से मेल खाती हों, और नुस्ख़े के बजाय कारण सीखिए — कारण ही वह चीज़ है जो सवाल पढ़ना ख़त्म होने से पहले बता देती है कि तरकीब लागू होगी। और पहाड़े अब तक अपने आप नहीं आते, तो शुरुआत वहीं से कीजिए: इस पन्ने की हर तरकीब मानकर चलती है कि 7 × 8 पर आपकी कार्यशील स्मृति ख़र्च नहीं हो रही।
इनका अभ्यास खेल में कीजिए
36 में से हर एक Math Challenge में एक सचित्र पाठ है — पहले सिद्धांत, फिर उसी पर अभ्यास, जहाँ कठिनाई आपके साथ-साथ ढलती है। छह मुफ़्त हैं, और बाक़ी एक-बार वाले अनलॉक के साथ आती हैं।
आपकी बारी
तीन सवाल — जो जवाब लगे उस पर टैप कीजिए।
65²
47 + 74
130 ÷ 5