मानसिक गणित की तरकीबें

तेज़ मानसिक अंकगणित “गणित वाले दिमाग़” की बात नहीं है। यह मुट्ठी भर तरकीबें हैं जो कठिन दिखते सवाल को हिसाब शुरू होने से पहले ही आसान सवाल में बदल देती हैं। पूरा विचार यही है: आप तेज़ हिसाब नहीं कर रहे, कम हिसाब कर रहे हैं।

नीचे हर तरकीब के साथ एक हल किया उदाहरण है और वह कारण भी जो उसे सही बनाता है। कारण समझ लीजिए तो तरकीब याद रहेगी — और उससे भी ज़रूरी, यह पता रहेगा कि वह कब लागू होती है और कब नहीं।

दिमाग़ में संख्याएँ जल्दी कैसे जोड़ें

दाएँ से बाएँ नहीं, बाएँ से दाएँ चलिए

काग़ज़ पर पहले इकाई का स्तंभ जुड़ता है। दिमाग़ में उल्टा कीजिए — सबसे बड़े हिस्से से शुरुआत।

386 + 245 → 300 + 200 = 500 → 80 + 40 = 120, तो 620 → 6 + 5 = 11 → 631.

स्तंभ वाला जोड़ दाएँ से बाएँ इसलिए चलता है कि हासिल को जाने की जगह मिले। पर दिमाग़ में कोई काग़ज़ नहीं है जिस पर हिसाब खोए, और बड़े से शुरू करने पर पहले ही पल से एक मोटा उत्तर — क़रीब 600 — आपके पास रहता है। बीच में टोक भी दिए जाएँ, तो भी ज़्यादातर उत्तर हाथ में है।

गोल कीजिए, फिर सुधारिए

एक संख्या को किसी सुविधाजनक गोल संख्या तक धकेलिए, फिर जो ज़्यादा जोड़ा था वह वापस ले लीजिए।

67 + 28 → 67 + 30 = 97, फिर −2 → 95. 154 + 99 → 154 + 100 = 254, फिर −1 → 253.

30 जोड़ना 28 जोड़ने से सचमुच आसान है, और सुधार बस एक छोटा-सा क़दम है। 8 या 9 पर ख़त्म होने वाली कोई भी संख्या ऊपर गोल करने लायक़ है; 1 या 2 पर ख़त्म होने वाली नीचे।

पहले दस बनाइए

संख्याएँ छोटी हों तो ऐसी जोड़ी ढूँढ़िए जो दस बनाती हो, और उसे एक साथ जोड़ दीजिए।

7 + 38 + 3 → 7 और 3 से 10 → 48.

जोड़ हर क्रम में एक ही उत्तर देता है, इसलिए सुविधाजनक क्रम चुनने की छूट आपको है। बच्चों की पहली असली युक्ति यही है, और बड़ों के भी सबसे ज़्यादा काम यही आती है।

दिमाग़ में गुणा तेज़ कैसे करें

11 से गुणा

दो अंकों की संख्या के लिए, अंकों को जोड़िए और योग को बीच में बैठा दीजिए।

36 × 11 → 3 (3+6) 6 → 396. 72 × 11 → 7 (7+2) 2 → 792. बीच का योग 10 या ज़्यादा हो तो 1 का हासिल आगे: 85 × 11 → 8 (13) 5 → 935.

×11 यानी ×10 और ×1। 36 × 10 = 360 को 36 के ऊपर लिखकर जोड़ने पर अंक इस तरह सीध में आते हैं कि दहाई का स्तंभ 3 + 6 बन जाता है। “बीच में बैठा दो” वाला नियम वही जोड़ है, पहले से किया हुआ।

खेल में ×11 का अभ्यास कीजिए →

5 से गुणा

संख्या को आधा कीजिए, फिर 10 से गुणा।

5 × 48 → 48 का आधा 24 → 240. विषम संख्याओं के लिए पहले ×10, फिर आधा: 5 × 37 → 370 → 185.

5, 10 का आधा है, और दहाई-आधारित प्रणाली में 10 से गुणा सबसे आसान है। आप एक कठिन गुणा के बदले एक आधा करना और एक अंक खिसकाना ख़रीद रहे हैं।

खेल में ×5 का अभ्यास कीजिए →

दुगुना-आधा

एक संख्या दुगुनी कीजिए, दूसरी आधी — गुणनफल आसान बन जाता है।

14 × 5 → 7 × 10 = 70. 16 × 25 → 8 × 50 = 4 × 100 = 400.

एक गुणनखंड दुगुना और दूसरा आधा करने से गुणनफल नहीं बदलता, क्योंकि आपने 2 से गुणा किया और 2 से भाग दिया। इसे तब तक दोहरा सकते हैं जब तक एक तरफ़ मनपसंद संख्या न आ जाए।

5 पर ख़त्म होने वाली किसी भी संख्या का वर्ग

दहाई का अंक लीजिए, उसे उससे अगली संख्या से गुणा कीजिए, और अंत में 25 लगा दीजिए।

65² → 6 × 7 = 42 → 4225. 85² → 8 × 9 = 72 → 7225.

5 पर ख़त्म होने वाली संख्या (10n + 5) होती है। वर्ग करने पर 100n² + 100n + 25 मिलता है, यानी 100 × n(n+1) + 25 — “n को अगली संख्या से गुणा, फिर 25” वाला नियम हू-ब-हू यही है।

5 पर ख़त्म होने वाली संख्याओं के वर्ग का अभ्यास →

उँगलियों पर 9 से गुणा

दसों उँगलियाँ खोलिए और जिससे गुणा करना है वह गिनती वाली उँगली मोड़ लीजिए। बाईं ओर की उँगलियाँ दहाई हैं, दाईं ओर की इकाई।

9 × 7 → सातवीं उँगली मोड़िए → बाईं ओर 6, दाईं ओर 3 → 63.

×9 यानी ×10 में से एक बार घटाना, इसलिए हर उत्तर के अंकों का योग 9 होता है और दहाई का अंक हमेशा गुणा की गई संख्या से एक कम। उँगलियाँ बस उसी को पढ़ने का एक ढंग हैं।

दिमाग़ में घटाव और भाग कैसे करें

घटाने के बजाय ऊपर गिनिए

बड़े फ़ासले वाले घटाव में, छोटी संख्या से ऊपर की ओर गिनिए।

1000 − 674 → 674 से 700 तक 26, फिर 1000 तक 300 → 326.

घटाव दो संख्याओं के बीच की दूरी है, और दूरी किसी भी सिरे से नापी जा सकती है। ऊपर गिनने से शून्यों के आर-पार उधार लेना पूरी तरह टल जाता है — ग़लतियाँ सबसे ज़्यादा वहीं होती हैं।

खेल में 1000 में से घटाने का अभ्यास → — वहाँ का पाठ इन्हीं उत्तरों तक दूसरे रास्ते से पहुँचता है (हर अंक 9 में से, आख़िरी 10 में से), जो दूसरी विधि के तौर पर पास रखने लायक़ है।

दोनों संख्याएँ खिसकाइए

दोनों में एक ही रक़म जोड़ने से फ़ासला नहीं बदलता — तो दोनों को किसी सुविधाजनक जगह खिसका दीजिए।

83 − 47 → दोनों 3 ऊपर → 86 − 50 = 36.

दो संख्याओं के बीच का फ़ासला तब नहीं हिलता जब दोनों साथ-साथ हिलें। छोटी संख्या के गोल होने तक खिसकाना लगभग हर घटाव को आसान बना देता है।

बार-बार आधा करके भाग

4 से भाग के लिए दो बार आधा कीजिए। 8 से भाग के लिए तीन बार।

232 ÷ 4 → 116 → 58. 96 ÷ 8 → 48 → 24 → 12.

दिमाग़ में प्रतिशत कैसे निकालें

प्रतिशत की पलट

y का x% हमेशा x के y% के बराबर होता है — और एक तरफ़ प्रायः कहीं आसान होती है।

25 का 4% अटपटा है; पलटकर 4 का 25% = 1. 50 का 18% → 18 का 50% = 9.

दोनों तरफ़ एक ही गुणा है, x × y / 100, बस पढ़ने का क्रम अलग है। पलटना मुफ़्त है, और यह देख लेने में कुछ नहीं जाता कि दूसरी तरफ़ आसान तो नहीं।

सब कुछ 10% से बनाइए

10% यानी एक दशमलव स्थान। बाक़ी हर प्रतिशत उसी से बनता है।

चाहिएयह कीजिएउदाहरण (60 का)
10%बिंदु एक स्थान खिसकाइए6
5%10% का आधा3
20%10% का दुगुना12
15%10% + 5%9
1%बिंदु दो स्थान खिसकाइए0.6

₹43 के बिल पर 15% छूट: 10% यानी ₹4.30, उसका आधा ₹2.15, तो लगभग ₹6.45।

रोज़मर्रा के ज़्यादातर प्रतिशत इन्हीं दो से निकल आते हैं। प्रतिशत परिवर्तन, छूट और बिक्री-मूल्य से उलटा हिसाब — इनकी अपनी गाइड है: प्रतिशत कैसे निकालें।

सचमुच तेज़ होने का रास्ता

जो लोग तेज़ हैं और जो नहीं, उनके बीच तीन चीज़ों का फ़र्क़ है — और उनमें से कोई प्रतिभा नहीं है।

इनका अभ्यास खेल में कीजिए

Math Challenge में 36 सचित्र जादुई तरकीबें पाठ हैं। हर पाठ किसी तरकीब के पीछे का विचार समझाता है — वही “क्यों” वाले ख़ाने जो आप अभी पढ़ते आए हैं — और फिर सीधे उसी के अभ्यास में उतार देता है, जहाँ कठिनाई आपके साथ-साथ ढलती है।

साथ में अंकगणित के 35 विषय भी हैं, और एक मुफ़्त दैनिक चुनौती जिसके लिए कोई खाता नहीं चाहिए।

आपकी बारी

तीन सवाल — जो जवाब लगे उस पर टैप कीजिए।

मन में 45 × 11

35²

98 × 102

Math Challenge मुफ़्त खेलिए →