Rechenverfahren

Es gibt zwei Arten, eine Rechnung zu erledigen, und Geläufigkeit heißt vor allem, schnell zwischen beiden zu wählen. Ein Kopfrechenweg formt die Zahlen in bequemere um — das ist schnell, hängt aber davon ab, dass die Zahlen mitspielen. Ein schriftliches Verfahren ignoriert, wie die Zahlen aussehen, und arbeitet sie zu gleichbleibenden Kosten durch.

Beide ruhen auf derselben Idee: dem Stellenwert. Übertrag, Borgen, Zerlegen und Verdoppeln sind ein und dasselbe Bündeln und Entbündeln von Zehnern, nur in verschiedener Schreibweise. Diese Seite geht die ganze Leiter ab, mit einem durchgerechneten Beispiel auf jeder Sprosse und dem Grund, warum sie trägt.

Wo fängt das Addieren an?

Es fängt mit Mengen an, die klein genug sind, um sie zu sehen. Addieren bis zwanzig und Wegnehmen sind das erste Paar, und beide bleiben absichtlich in dem Bereich, in dem ein Kind die Antwort durch Hinsehen prüfen kann statt durch Vertrauen in eine Regel.

Multiplikation und Division beginnen genauso — als Anordnungen, nicht als Fakten. Gleich große Gruppen hält fest, dass Multiplizieren gleich große Gruppen zählt, Reihen und Spalten legt diese Gruppen als Rechteck aus, sodass 3 × 4 und 4 × 3 sichtbar dasselbe, nur gedrehte Rechteck sind, und Gerecht verteilen führt die Division als die Frage ein, die das Rechteck rückwärts beantwortet. Der Einmaleins-Ratgeber zeigt, wie dieser Abruf automatisch wird — alles Weitere setzt ihn voraus.

Wie addiert man im Kopf?

Indem man die Summe in eine leichtere Summe mit derselben Antwort verwandelt. Fünf Griffe lohnen das Besitzen, und zusammen decken sie fast alles ab.

Umordnen. In beliebiger Reihenfolge addieren ist die Erlaubnis für alles Übrige: 7 + 24 + 3 wird zu 7 + 3 + 24 = 34, denn der Addition ist gleichgültig, in welcher Reihenfolge man sie ihr vorsetzt.

Zerlegen. Addieren durch Zerlegen bricht eine Zahl entlang ihrer Stellen auf — $46+37\to 40+30=70$46 + 37 → 40 + 30 = 70, dann 6 + 7 = 13, also 83. Das ist die schriftliche Addition, laut gesprochen und von links nach rechts.

Über die Zehn gehen. Der Zehnerübergang benutzt die Zehn als Trittstein: $8+5\to 8+2=10$8 + 5 → 8 + 2 = 10, dann 3 dazu = 13. Es ist der nützlichste Griff der frühen Arithmetik, weil die Zehn der Ort ist, an dem die Schreibweise den Gang wechselt.

Verdoppeln. Verdopplungen und Fast-Verdopplungen macht aus 7 + 8 die Rechnung 7 + 7 + 1 = 15. Verdopplungen fallen einem schneller ein als jede andere Additionsaufgabe, also ist alles, was einen Schritt neben einer Verdopplung liegt, fast geschenkt.

Runden und Ausgleichen. Runden und Ausgleichen ist der Griff, den Erwachsene am häufigsten benutzen: $198+47\to 200+47=247$198 + 47 → 200 + 47 = 247, dann die 2 zurückgeben → 245.

Subtrahieren, ohne wegzunehmen

Die Subtraktion hat ihre eigenen zwei Griffe, und keiner davon ist „wegnehmen“. Ergänzen statt Abziehen liest 82 − 67 als den Abstand von 67 bis 82: drei bis zur 70, dann zwölf weiter, also 15. So haben Händler Wechselgeld herausgegeben, bevor Kassen es taten.

Der gleiche Abstand ist der mächtigere von beiden. Verschiebe beide Zahlen um denselben Betrag, und der Abstand zwischen ihnen bleibt unberührt: 82 − 67 = 85 − 70 = 15. Wähle die Verschiebung, die die zweite Zahl rund macht, und die Subtraktion hört auf, Arbeit zu sein.

Wie funktioniert die schriftliche Addition wirklich?

Sie funktioniert, weil eine Spalte nur eine Ziffer fassen kann und zehn von etwas eins vom Nächstgrößeren sind. Die Spalten ausrichten ist der Schritt, den man auslässt und dann bezahlt: Einer unter Einer, Zehner unter Zehner, damit immer nur Gleiches zu Gleichem addiert wird.

Der Übertrag ist das, was geschieht, wenn eine Spalte überläuft. 47 + 38: 7 + 8 = 15 Einer. Zehn davon bündeln sich zu einem Zehner, der hinüberwandert; die 5 bleibt. Dann 4 + 3 + 1 = 8 Zehner. Antwort: 85.

Übertrag über mehrere Spalten zeigt die Kaskade — ein Übertrag kann den nächsten auslösen, und an der Regel ändert sich dabei nichts.

Borgen — auch über eine Null hinweg

Borgen ist der Übertrag rückwärts: Ein Zehner aus der Nachbarspalte wird in zehn Einer entbündelt, und die Subtraktion dieser Spalte wird möglich. 52 − 27: 2 − 7 geht nicht, also einen Zehner holen: 12 − 7 = 5, dann 4 − 2 = 2. Antwort: 25.

Borgen über die Null behandelt den Fall, an dem alle hängen bleiben. 300 − 176: Die Zehnerspalte hat nichts zu verleihen, also kommt der Hunderter herüber und wird zweimal entbündelt — 2 Hunderter, 9 Zehner, 10 Einer — und dann läuft die Subtraktion normal durch und ergibt 124. Die Reihe von Neunen, die dabei auftaucht, ist kein Trick; so sieht ein Hunderter aus, wenn man ihn in Zehner und Einer zerbricht.

Wie multipliziert und dividiert man im Kopf?

Auf dieselbe Weise: erst umformen, dann rechnen. Mit Zehn und Hundert multiplizieren ist der Anker — jede Ziffer rückt eine Stelle nach links, und der Grund ist der Stellenwert und nicht „eine Null anhängen“, eine Regel, die in dem Moment bricht, in dem Dezimalzahlen auftauchen.

Multiplizieren durch Zerlegen ist das Arbeitspferd: $7\times 34\to 7\times 30=210$7 × 34 → 7 × 30 = 210, 7 × 4 = 28, zusammen 238. Verdoppeln statt Multiplizieren erreicht ×4 und ×8 durch zwei- oder dreimaliges Verdoppeln und bildet ein Paar mit Durch Halbieren dividieren, das ÷4 in zweimal Halbieren verwandelt.

Durch Zerlegen dividieren bricht stattdessen den Dividenden in bequeme Stücke: $96÷4\to 80÷4=20$96 ÷ 4 → 80 ÷ 4 = 20, 16 ÷ 4 = 4, also 24. Und Runden zum Überschlagen ist die Gewohnheit, die die falsche Antwort abfängt, bevor man ihr fertig geglaubt hat — $38\times 52\approx 40\times 50=2000$38 × 52 ≈ 40 × 50 = 2000, also ist eine Antwort nahe 200 oder 20 000 eine verrutschte Ziffer. Der Divisions-Ratgeber geht beim Kopfrechnen der Division weiter in die Tiefe.

Wie gehen schriftliche Multiplikation und lange Division?

In Spalten multiplizieren nimmt das Zerlegeverfahren und schreibt es auf, damit nichts im Kopf gehalten werden muss. Zweistellig mal zweistellig tut es dann zweimal und addiert die beiden Teilprodukte — darum ist die zweite Zeile um eine Stelle nach links gerückt: Diese Zeile multipliziert mit Zehnern, also muss sie dort stehen, wo Zehner stehen.

$24\times 36\to 24\times 6=144$24 × 36 → 24 × 6 = 144, und 24 × 30 = 720, also 864.

Die lange Division ist die mit dem Ruf, und das Heilmittel ist zu wissen, was jeder Durchgang tut: Er behandelt genau eine Stelle, von links her, und die vier Schritte wiederholen sich unverändert.

1. Dividieren: Wie oft passt der Divisor in den Teil, den du gerade ansiehst?
2. Multiplizieren: diese Ziffer mal den Divisor, darunter geschrieben.
3. Subtrahieren: was von dem behandelten Teil übrig bleibt.
4. Die nächste Ziffer herunterholen, und zurück zu Schritt eins.

$852÷4\to 4$852 ÷ 4 → 4 passt in die 8 2-mal; die 5 herunterholen, 4 passt in die 5 1-mal, Rest 1; die 2 herunterholen ergibt 12, 4 passt in die 12 3-mal. Antwort: 213.

Wenn die letzte Subtraktion nicht bei null ankommt, ist das Übriggebliebene ein Rest, und Reste handelt davon, was damit geschehen soll — aufrunden, abrunden oder als Bruch behalten —, eine Frage an die Situation, nicht an die Arithmetik. Dreizehn Kinder zu je vier pro Auto sind drei Autos mit Rest eins, und die Antwort lautet vier Autos.

Warum kommt die Multiplikation vor der Addition?

Weil eine Multiplikation eine fertig verpackte Menge ist, keine Anweisung, die auf ihren Einsatz wartet. In 2 + 3 × 4 bedeutet das 3 × 4 drei Vieren — eine Menge, zwölf — also ist die Summe 14.

Punkt vor Strich führt dieses Argument sauber aus, und Klammern zuerst stellt die Schreibweise vor, mit der man die andere Frage absichtlich stellt: (2 + 3) × 4 = 20. Klammern mit allen vier Rechenarten setzt dann alle Sprossen zusammen, samt der Links-nach-rechts-Falle, in der 8 ÷ 2 × 4 = 16 ist und nicht 1. Wenn du deswegen hier bist: Es gibt einen eigenen Ratgeber zu Punkt vor Strich.

Die vier Fehler, die einen Namen verdienen

• Die Enden statt der Stellen ausrichten. In einer schriftlichen Rechnung sind die Spalten der ganze Sinn; ausgefranste rechte Ränder stören nicht, verrutschte Stellenwerte schon.
• „Eine Null anhängen“ beim Multiplizieren mit zehn. Bei ganzen Zahlen geht es gut und bei 3.5 × 10 sofort schief. Die Ziffern rücken; der Punkt bleibt stehen.
• Ein schriftliches Verfahren für freundliche Zahlen wählen. 198 + 47 in Spalten ist langsamer und fehleranfälliger als Runden und Ausgleichen.
• Einen Rest wegwerfen, ohne zu fragen. Was ein Rest bedeutet, hängt ganz davon ab, was da verteilt wird.

Wohin es von hier aus geht

All diese Verfahren ruhen auf den Spalten aus Ganze Zahlen und Stellenwert, und sie reichen unverändert über den Dezimalpunkt hinaus — dort nimmt die Leiter der Dezimalzahlen und Prozente sie auf. Die Frage, welche Divisionen genau aufgehen, führt zu Teiler, Vielfache und Primzahlen.

Im Spiel üben

Math Challenge ist ein Kopfrechenspiel, und hinter jedem Schritt oben steht eine bebilderte Lektion — eine durchgerechnete Herleitung mit Bildern, dann Übungsaufgaben, die genau die verpasste Frage neu erklären. Das Ganze in einem Katalog von über 800 Lektionen über die volle Leiter.

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