算術方法
做一個計算有兩條路，而流利多半就是在兩條路之間挑得快。心算方法把數字改造成更容易的 —— 它快，但它指望數字配合。書面方法不看數字長什麼樣，按平穩的代價一路輾過去。
兩條路踩著同一個想法：位值。進位、借位、拆分和加倍，全是同一套十的打捆與拆捆，只是記法不同。這一頁把整條階梯走一遍，每一級配一道例題，和它成立的理由。
加法從哪裡開始？
從小到看得見的量開始。二十以內的加法和拿走是最早的一對，它們被有意留在孩子能靠看、而不是靠信一條規則來驗算的範圍裡。
乘法和除法的起點一樣，是擺法而不是口訣。相等的組敲定乘法數的是一樣大的組，行與列把這些組擺成一個長方形，讓 3 × 4 和 4 × 3 肉眼可見就是同一個長方形側了個身，平均分再把除法引進來，作為這個長方形倒著回答的問題。乘法表指南講怎麼把那套口訣練到脫口而出 —— 下面的一切都以此為前提。
怎麼在腦袋裡做加法？
把這道題換成一道答案相同、但更容易的題。值得擁有的動作有五個，它們合起來幾乎涵蓋一切。
重排。任意順序相加是這一切的許可證：7 + 24 + 3 變成 7 + 3 + 24 = 34，因為加法不在乎你按什麼順序給它。
拆分。拆開來加沿著位值把數掰開 —— ，再 6 + 7 = 13，所以 83。這就是直式加法讀出聲來，從左往右。
過橋。湊十過橋拿十當墊腳石：，再 。它是早期算術裡最有用的一個動作，因為十正是記法換檔的地方。
加倍。加倍與近似加倍把 7 + 8 變成 7 + 7 + 1 = 15。加倍是所有加法口訣裡想起來最快的，所以離一個加倍只差一的題幾乎白送。
湊整再補回。湊整再補回是大人用得最多的：，再拿回 。
不用「拿走」的減法
減法有它自己的兩個動作，而且都不是「拿走」。往上數來減把 82 − 67 讀成 67 到 82 的差距：三步到 70，再十二步，所以是 15。收銀機會算帳之前，店主找零用的就是這一招。
差不變是更有力的那個。兩個數一起挪同樣的量，它們之間的差距原封不動，所以 82 − 67 = 85 − 70 = 15。挑一個能讓第二個數變整的挪法，減法就不再是工作了。
直式加法究竟憑什麼成立？
憑的是一行只裝得下一個數字，而十個某樣東西就是一個下一檔的東西。對齊數位是人們跳過、然後付出代價的那一步：個位對個位，十位對十位，這樣相加的永遠是同類。
進位是一行裝滿時發生的事。47 + 38：7 + 8 = 15 個一。其中十個捆成一個十，進過去；5 留下。然後 4 + 3 + 1 = 8 個十。答案 85。
連著進位不止一行展示那串連鎖 —— 一次進位可以觸發下一次進位，而這發生時規則分毫不變。
借位，以及隔著零借位
借位是倒著跑的進位：從旁邊一行拆出一個十、換成十個一，這一行的減法就做得動了。52 − 27：2 − 7 不夠減，就取一個十：12 − 7 = 5，再 4 − 2 = 2。答案 25。
隔著零借位處理讓人卡住的那種情況。300 − 176：十位沒有東西可借，於是那個百跨過來、被拆了兩次 —— 2 個百、9 個十、10 個一 —— 然後減法照常跑完，得到 124。冒出來的那排九不是戲法；一個百拆成十和一，長的就是那個樣子。
怎麼在腦袋裡做乘除？
同一個路數：先改造，再計算。乘十和乘一百是錨 —— 每個數字左移一位，理由是位值而不是「添個零」，那條規則在小數一到場就失靈。
拆開來乘是主力：，7 × 4 = 28，共 238。加倍來乘靠加倍兩次或三次夠到 ×4 和 ×8，和減半來除成對 —— 後者把 ÷4 變成減半兩次。
拆開來除反過來把被除數掰成順手的塊：，16 ÷ 4 = 4，所以 24。而湊整來估算是在你還來不及相信一個錯誤答案之前就把它逮住的習慣 —— ,000，所以一個落在 200 或 20,000 附近的答案，是有個數字站錯了位。除法指南把除法的心算一側講得更深。
直式乘法和長除法怎麼做？
直式乘法把拆分法寫到紙上，腦袋裡就什麼都不用攥著了。兩位數乘兩位數再把它做兩遍、把兩個部分積相加 —— 第二行左移一位的原因就在這裡：那一行乘的是十，就必須寫在寫十的地方。
，而 24 × 30 = 720，所以 864。
長除法是名聲在外的那個，解藥是知道每一輪在做什麼：它恰好處理一個數位，從左邊起，四個步驟原樣重複。
- 除：除數裝得進你正看著的這部分幾次？
- 乘：那個數字乘除數，寫在下面。
- 減：你處理過的部分還剩多少。
- 把下一位拉下來，回到第一步。
裝進 8 是 2；拉下 5，4 裝進 5 是 1 餘 1；拉下 2 湊成 12，4 裝進 12 是 3。答案 213。
最後一減沒減到零的時候，剩下的是餘數，餘數講的是拿它怎麼辦 —— 往上取整、往下取整，還是留成分數 —— 這是關於情境的問題，不是關於算術的。十三個孩子四人一輛車，是三輛車餘一個人，而答案是四輛車。
為什麼先乘後加？
因為一個乘法是一個包好的量，不是一條排隊等著輪到自己的指令。在 2 + 3 × 4 裡，3 × 4 的意思是三個四 —— 一個量，十二 —— 所以和是 14。
先乘除後加減把這套論證做扎實，括號優先引入那套讓你能故意問另一個問題的記號：(2 + 3) × 4 = 20。括號與四則混合再把每一級拼到一起，包括那個從左到右的陷阱 —— 8 ÷ 2 × 4 = 16，而不是 1。要是你就是為這個來的，有一頁專門的運算順序指南。
四個值得點名的錯誤
- 對齊末尾而不是數位。直式裡，行就是全部的意義；右邊參差不齊沒關係，數位錯位不行。
- 乘十就「添個零」。對整數行得通，碰上 3.5 × 10 立刻碎掉。動的是數字；小數點站著不動。
- 對好算的數字選書面方法。198 + 47 列直式，比湊整再補回更慢也更容易錯。
- 不問一聲就丟掉餘數。餘數是什麼意思，全看被分的是什麼。
接下來通向哪裡
這些方法全都站在整數與位值講的那些行上，而且原樣延伸過小數點 —— 小數與百分比（英文）階梯從那裡接手。追問哪些除法除得盡，會走進因數、倍數與質數（英文）。
在遊戲裡練
Math Challenge 是一款心算遊戲，上面每一步背後都有一課配圖的課 —— 帶圖的逐步推導，然後是專門重教你剛錯的那道題的試一試。它們住在一套橫跨整條階梯的 800 多課課程目錄裡。
想刷題而不是讀書的話，乘法主題會盯著老是花你時間的那些口訣調整，每日挑戰不需要帳號。
輪到你了
三題試一試，點選作答。
47 + 38
82 − 47
34 × 5