算术方法
做一个计算有两条路，而流利多半就是在两条路之间挑得快。心算方法把数字改造成更容易的 —— 它快，但它指望数字配合。书面方法不看数字长什么样，按平稳的代价一路碾过去。
两条路踩着同一个想法：位值。进位、借位、拆分和翻倍，全是同一套十的打捆与拆捆，只是记法不同。这一页把整条阶梯走一遍，每一级配一道例题，和它成立的理由。
加法从哪里开始？
从小到看得见的量开始。二十以内的加法和拿走是最早的一对，它们被有意留在孩子能靠看、而不是靠信一条规则来验算的范围里。
乘法和除法的起点一样，是摆法而不是口诀。相等的组敲定乘法数的是一样大的组，行与列把这些组摆成一个长方形，让 3 × 4 和 4 × 3 肉眼可见就是同一个长方形侧了个身，平均分再把除法引进来，作为这个长方形倒着回答的问题。乘法表指南讲怎么把那套口诀练到脱口而出 —— 下面的一切都以此为前提。
怎么在脑子里做加法？
把这道题换成一道答案相同、但更容易的题。值得拥有的动作有五个，它们合起来几乎覆盖一切。
重排。任意顺序相加是这一切的许可证：7 + 24 + 3 变成 7 + 3 + 24 = 34，因为加法不在乎你按什么顺序给它。
拆分。拆开来加沿着位值把数掰开 —— ，再 6 + 7 = 13，所以 83。这就是竖式加法读出声来，从左往右。
过桥。凑十过桥拿十当踏脚石：，再 。它是早期算术里最有用的一个动作，因为十正是记法换挡的地方。
翻倍。翻倍与近似翻倍把 7 + 8 变成 7 + 7 + 1 = 15。翻倍是所有加法口诀里想起来最快的，所以离一个翻倍只差一的题几乎白送。
凑整再补回。凑整再补回是大人用得最多的：，再拿回 。
不用“拿走”的减法
减法有它自己的两个动作，而且都不是“拿走”。往上数来减把 82 − 67 读成 67 到 82 的差距：三步到 70，再十二步，所以是 15。收银机会算账之前，店主找零用的就是这一招。
差不变是更有力的那个。两个数一起挪同样的量，它们之间的差距原封不动，所以 82 − 67 = 85 − 70 = 15。挑一个能让第二个数变整的挪法，减法就不再是活了。
竖式加法究竟凭什么成立？
凭的是一列只装得下一个数字，而十个某样东西就是一个下一档的东西。对齐数位是人们跳过、然后付出代价的那一步：个位对个位，十位对十位，这样相加的永远是同类。
进位是一列装满时发生的事。47 + 38：7 + 8 = 15 个一。其中十个捆成一个十，进过去；5 留下。然后 4 + 3 + 1 = 8 个十。答案 85。
连着进位不止一列展示那串连锁 —— 一次进位可以触发下一次进位，而这发生时规则分毫不变。
借位，以及隔着零借位
借位是倒着跑的进位：从旁边一列拆出一个十、换成十个一，这一列的减法就做得动了。52 − 27：2 − 7 不够减，就取一个十：12 − 7 = 5，再 4 − 2 = 2。答案 25。
隔着零借位处理让人卡壳的那种情况。300 − 176：十位没有东西可借，于是那个百跨过来、被拆了两次 —— 2 个百、9 个十、10 个一 —— 然后减法照常跑完，得到 124。冒出来的那排九不是戏法；一个百拆成十和一，长的就是那个样子。
怎么在脑子里做乘除？
同一个路数：先改造，再计算。乘十和乘一百是锚 —— 每个数字左移一位，理由是位值而不是“添个零”，那条规则在小数一到场就失灵。
拆开来乘是主力：，7 × 4 = 28，共 238。翻倍来乘靠翻倍两次或三次够到 ×4 和 ×8，和减半来除成对 —— 后者把 ÷4 变成减半两次。
拆开来除反过来把被除数掰成顺手的块：，16 ÷ 4 = 4，所以 24。而凑整来估算是在你还没来得及相信一个错误答案之前就把它逮住的习惯 —— ,000，所以一个落在 200 或 20,000 附近的答案，是有个数字站错了位。除法指南把除法的心算一侧讲得更深。
竖式乘法和长除法怎么做？
列竖式乘把拆分法写到纸上，脑子里就什么都不用攥着了。两位数乘两位数再把它做两遍、把两个部分积相加 —— 第二行左移一位的原因就在这里：那一行乘的是十，就必须写在写十的地方。
，而 24 × 30 = 720，所以 864。
长除法是名声在外的那个，解药是知道每一轮在干什么：它恰好处理一个数位，从左边起，四个步骤原样重复。
- 除：除数装得进你正看着的这部分几次？
- 乘：那个数字乘除数，写在下面。
- 减：你处理过的部分还剩多少。
- 把下一位落下来，回到第一步。
装进 8 是 2；落下 5，4 装进 5 是 1 余 1；落下 2 凑成 12，4 装进 12 是 3。答案 213。
最后一减没减到零的时候，剩下的是余数，余数讲的是拿它怎么办 —— 往上取整、往下取整，还是留成分数 —— 这是关于情境的问题，不是关于算术的。十三个孩子四人一辆车，是三辆车余一个人，而答案是四辆车。
为什么先乘后加？
因为一个乘法是一个打好包的量，不是一条排队等着轮到自己的指令。在 2 + 3 × 4 里，3 × 4 的意思是三个四 —— 一个量，十二 —— 所以和是 14。
先乘除后加减把这套论证做扎实，括号优先引入那套让你能故意问另一个问题的记号：(2 + 3) × 4 = 20。括号与四则混合再把每一级拼到一起，包括那个从左到右的陷阱 —— 8 ÷ 2 × 4 = 16，而不是 1。要是你就是为这个来的，有一页专门的运算顺序指南。
四个值得点名的错误
- 对齐末尾而不是数位。竖式里，列就是全部的意义；右边参差不齐没关系，数位错位不行。
- 乘十就“添个零”。对整数行得通，碰上 3.5 × 10 立刻碎掉。动的是数字；小数点站着不动。
- 对好算的数字选书面方法。198 + 47 列竖式，比凑整再补回更慢也更容易错。
- 不问一声就扔掉余数。余数是什么意思，全看被分的是什么。
接下来通向哪里
这些方法全都站在整数与位值讲的那些列上，而且原样延伸过小数点 —— 小数与百分数（英文）阶梯从那里接手。追问哪些除法除得尽，会走进因数、倍数与质数（英文）。
在游戏里练
Math Challenge 是一款心算游戏，上面每一步背后都有一节配图的课 —— 带图的逐步推导，然后是专门重教你刚错的那道题的试一试。它们住在一套横跨整条阶梯的 800 多节课程目录里。
想刷题而不是读书的话，乘法专题会盯着老是费你时间的那些口诀调整，每日挑战不需要账号。
轮到你了
三题试一试，点选作答。
47 + 38
82 − 47
34 × 5