Teiler, Vielfache und Zahlentheorie

Sobald man dividieren kann, folgt sofort eine Frage: Welche Divisionen gehen genau auf? Alles auf dieser Seite ist eine Antwort auf diese Frage — vom Siebenjährigen, der Spielsteine in gleiche Reihen sortiert, bis zum Beweis, dass die Primzahlen nie ausgehen.

Es ist außerdem der praktischste Zweig der Arithmetik, der nicht praktisch aussieht. Einen Bruch zu kürzen ist eine Teilerfrage. Zwei Busse, die zusammen abfahren und sich wieder treffen, sind eine Vielfachenfrage. Ob eine Dezimalzahl abbricht oder sich ewig wiederholt, entscheiden allein die Primfaktoren des Nenners.

Was ist ein Teiler, und was ist ein Vielfaches?

Ein Teiler teilt eine Zahl genau auf; ein Vielfaches ist das, was man durch Multiplizieren erhält. Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6, 12, und dort endet die Liste. Die Vielfachen von 12 sind 12, 24, 36, 48, …, und diese Liste endet nie.

Ohne Rest teilen ist der Ort, an dem „genau“ festgenagelt wird — kein Rest, nichts übrig — und Teiler und Vielfache benennen die beiden Richtungen. Teilerpaare ist die Lektion, die das Finden zuverlässig macht: Teiler kommen in Paaren, deren Produkt die Zahl ist, also heißt die Suche bei 12: 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 prüfen und dann aufhören, denn danach wiederholen sich die Paare in umgekehrter Reihenfolge.

Teilbarkeit ohne zu dividieren

Teilbarkeitsregeln sammelt die Proben, die „geht das auf?“ schneller beantworten, als die Division es täte.

Die Quersummenregeln sind die interessanten, und sie sind kein Zufall: Jede Zehnerpotenz lässt beim Teilen durch 9 den Rest 1, also lassen eine Zahl und ihre Quersumme denselben Rest. Diese Tatsache ist mehr wert als die Regel — Die Neunerprobe macht daraus eine Methode, eine lange Multiplikation in ein paar Sekunden zu prüfen, und Modulare Arithmetik auf dem Zifferblatt ist die allgemeine Idee dahinter: Arithmetik, bei der nur der Rest behalten wird — so funktionieren Uhren, Kalender und Prüfsummen.

Was ist eine Primzahl?

Eine Primzahl ist eine ganze Zahl über 1, deren einzige Teiler 1 und sie selbst sind. Es sind die Zahlen, die sich nicht zerlegen lassen — und damit das Rohmaterial, aus dem alles andere gebaut ist.

Das Sieb des Eratosthenes ist der älteste Weg, sie zu finden, und ein wirklich guter Algorithmus statt einer Klassenzimmer-Kuriosität: Schreib die Zahlen auf, behalte die 2 und streiche jedes spätere Vielfache von 2, behalte die 3 und streiche ihre Vielfachen, und mach weiter. Was übrig bleibt, ist prim — und keine einzige Zahl wurde auf Teilbarkeit getestet.

Die Primfaktorzerlegung ist der Lohn. Jede ganze Zahl über 1 zerfällt auf genau eine Weise in Primzahlen — $180=2^2\times 3^2\times 5$180 = 2² × 3² × 5 — und dieser einzigartige Fingerabdruck ist es, der den nächsten Abschnitt zum Laufen bringt.

ggT oder kgV — welches brauchst du?

Frag, ob du etwas zerlegst oder aufbaust. In gleiche Stücke zerlegen braucht den größten gemeinsamen Teiler; darauf warten, dass zwei Zyklen sich wieder ausrichten, braucht das kleinste gemeinsame Vielfache.

Gemeinsame Teiler und Der größte gemeinsame Teiler nehmen die erste Richtung: die größte Zahl, die beide teilt. 12 und 18 teilen sich 1, 2, 3 und 6, also ist der ggT 6 — das größte Tablett, in das sich beide Stapel lückenlos packen lassen.

Gemeinsame Vielfache und Das kleinste gemeinsame Vielfache nehmen die andere: die kleinste Zahl, in die beide passen. 12 und 18 treffen sich zuerst bei 36 — das erste Mal, dass ein 12-Minuten-Bus und ein 18-Minuten-Bus wieder zusammen abfahren.

Zwischen ggT und kgV wählen existiert, weil die Arithmetik selten der schwere Teil ist; das Richtige aus einer Textaufgabe herauszulesen schon. Die Primfaktorzerlegungen beantworten beides zugleich: Nimm die niedrigste Potenz jedes gemeinsamen Primfaktors für den ggT, die höchste Potenz jedes Primfaktors für das kgV.

ggT und kgV aus den Primfaktorzerlegungen

Für Zahlen, die zu groß sind, um ihre Teiler aufzulisten, erledigen die Zerlegungen die Arbeit. Schreib beide als Produkte von Primzahlen und lies beide Antworten aus demselben Zeilenpaar ab.

$84=2^2\times 3\times 7$84 = 2² × 3 × 7 und $90=2\times 3^2\times 5$90 = 2 × 3² × 5.

• ggT: die niedrigste Potenz jedes gemeinsamen Primfaktors — 2 × 3 = 6. Nur Primzahlen, die in beiden vorkommen, zählen — darum werden 5 und 7 ignoriert.
• kgV: die höchste Potenz jeder Primzahl, die in einer von beiden vorkommt — $2^2\times 3^2\times 5\times 7=1260$2² × 3² × 5 × 7 = 1 260.

Daraus fällt eine nützliche Probe heraus: Multipliziere den ggT mit dem kgV, und du erhältst jedes Mal das Produkt der beiden Ausgangszahlen. 6 × 1 260 = 7 560 = 84 × 90. Jede Primzahl wird einmal in ihrer niedrigeren und einmal in ihrer höheren Potenz gezählt, was zusammen genau der Gehalt der beiden Zahlen ist.

Gehen die Primzahlen jemals aus?

Nein, und der Beweis ist kurz genug für den Kopf. Euklids Beweis, dass die Primzahlen nie ausgehen geht so: Angenommen, du hättest eine vollständige Liste aller Primzahlen. Multipliziere sie alle miteinander und addiere eins. Die neue Zahl lässt beim Teilen durch jede Primzahl der Liste den Rest 1 — doch jede Zahl über 1 hat irgendeinen Primfaktor. Also gibt es eine Primzahl, die nicht auf der Liste steht, und die Liste war nie vollständig.

Welche Brüche haben Dezimaldarstellungen, die abbrechen?

Die, deren Nenner in vollständig gekürzter Form nur aus Zweien und Fünfen gebaut ist. Das ist die ganze Regel, und Warum jeder Bruch abbricht oder periodisch wird gibt den Grund: Unsere Dezimalzahlen sind auf der Zehn gebaut, zehn ist 2 × 5, und nur ein Nenner, der irgendeine Zehnerpotenz teilt, lässt sich in Zehntel, Hundertstel oder Tausendstel umschreiben. $\frac{1}{8}=0.125$1/8 = 0.125 bricht ab; $\frac{1}{3}=0.333\dots$1/3 = 0.333… kann es nicht.

Die Wiederholung ist außerdem garantiert und nicht bloß wahrscheinlich: Teilen durch 7 kann immer nur die Reste 1 bis 6 lassen, also muss sich binnen sieben Schritten ein Rest wiederholen — und sobald sich ein Rest wiederholt, tun es auch die Ziffern.

Periodische Dezimalzahlen in Brüche verwandeln lässt den Vorgang mit einem einzigen Trick rückwärts laufen — multipliziere mit einer Zehnerpotenz, um den Wiederholungsblock mit sich selbst auszurichten, und subtrahiere dann. x = 0.272727…, also 100x = 27.2727…, und 99x = 27, was x = 27/99 = 3/11 ergibt.

Dieselbe Subtraktion beendet den Streit, den die Leute über Warum 0.999… genau eins ist führen: x = 0.999…, 10x = 9.999…, also 9x = 9 und x = 1. Nicht fast eins. Es gibt keine Zahl dazwischen, und zwei Zahlen ohne etwas dazwischen sind eine Zahl.

Was ist eine irrationale Zahl?

Eine Zahl, die sich überhaupt nicht als Bruch ganzer Zahlen schreiben lässt. Rationale und irrationale Zahlen zieht die Linie: Jeder Bruch hat eine Dezimaldarstellung, die abbricht oder periodisch wird, also liegt jede Dezimalzahl, die keins von beidem tut, ganz außerhalb der Brüche.

Die Quadratwurzel aus zwei ist irrational beweist, dass mindestens eine solche Zahl existiert — wieder durch Widerspruch. Schreibe √2 = a/b vollständig gekürzt. Quadrieren ergibt a² = 2b², also ist a² gerade, also ist a gerade. Schreibe a = 2c, und dieselbe Gleichung wird zu b² = 2c², also ist auch b gerade. Aber ein vollständig gekürzter Bruch kann nicht beide Teile gerade haben. Die Annahme ist unmöglich, also existiert kein solcher Bruch.

Zwei ältere Ideen runden den Zweig ab. Ägyptische Brüche und der gierige Algorithmus betrachtet eine Schreibweise, die nur Stammbrüche erlaubte — $\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 — und die gierige Methode, die immer endet: ein echter Satz, der sich in einer Kuriosität versteckt. Kettenbrüche schreibt eine Zahl als geschachtelte Kehrwerte und liefert die bestmöglichen Bruchnäherungen: Daher stammt $\frac{355}{113}$355/113, ein Wert für pi, korrekt auf sieben Ziffern, mit dreistelligen Zahlen.

Die drei Fehler, die einen Namen verdienen

• Die 1 prim nennen. Sie ist mit Absicht ausgeschlossen: Wäre 1 prim, hörte die Primfaktorzerlegung auf, eindeutig zu sein, denn man könnte beliebig viele Einsen ankleben.
• Die zwei Listen verwechseln. Teiler sind endlich viele und liegen unter der Zahl; Vielfache sind unendlich viele und liegen darüber.
• 0.999… als „knapp unter 1“ lesen. Eine periodische Dezimalzahl ist keine Zahl, die auf einen Grenzwert zukriecht; sie ist der Grenzwert, hingeschrieben.

Wohin es von hier aus geht

Teiler sind der Motor unter der Brucharithmetik — siehe Brüche, Gleichwertigkeit und gemischte Zahlen — und die Frage nach Abbrechen oder Wiederholen übergibt direkt an den Dezimalzahlen-Ratgeber. Potenzen, Wurzeln und Wurzelterme führen den irrationalen Faden in Algebraische Ausdrücke, Potenzen und Wurzeln weiter.

Im Spiel üben

Math Challenge lehrt jeden Schritt oben als bebilderte Lektion — das Sieb als Raster, das sich vor deinen Augen füllt, den ggT als geteilte Teilerliste, Euklids Beweis Zeile für Zeile ausgelegt — in einem Katalog von über 800 Lektionen. Fürs Training lassen das Thema ggT und kgV und das Thema Primzahlen das Erkennen laufen, bis es schnell ist.

Teiler und Vielfache kostenlos üben →