整数与位值

十个数字，写出了古往今来的每一个整数。这不是巧合，也不是一个随便换掉也行的约定 —— 它是同一个想法，一遍一遍地用：一个数字值多少，取决于它坐在哪里，而每一列都值右边邻居的十倍。

这一页顺着这个想法，从最初的数数走到一百万，再走向人们真正犯难的两件事 —— 凑到合适的细节层级，和零以下的数。每条规则都配一道例题，和它成立的理由。

位值是什么，为什么要紧？

位值就是“位置管大小”这条规则。在 3,507 里，3 是三千，5 是五百，0 把十位这一列撑开着，7 是七个一。数字管数数；列管分量。

没有进位记数法，每次数不够用就得造一个新符号 —— 罗马数字干的正是这件事，也正因如此没人用它做乘法。十个数字按十倍的价值反复用，只多花一个想法，换来的是对任意大小的数都能做算术。

孩子是分阶段遇见它的，而每个阶段都是实打实的一步，不是同一件事的更多遍。数数最先来：数到十敲定“你说出的最后一个词就是有多少”，一加一让第一道加法先是一幅画，而不是一条要背的口诀。写出二十以内的数是把写下的符号和嘴里的词对上号的地方 —— 对五岁的孩子来说这工作量惊人。

比较是和数数并肩到的，不是排在它后面。多与少教的是把东西一对一配起来比，所以答案不押在数得准不准上。而数对 —— 凑五的数对，然后凑十的数对 —— 是后面一切都靠着的那一小把口诀，因为十正是整个体系围着搭的那个数。

一个数怎么长过十？

靠打捆。十个一捆成一个十，这个十住进自己的一列。十位和个位是让这一捆看得见的那节课，数到一百是让这个规律重复到让人信服的那节。

然后同一件事原样再来。十个十是一百（百），十个一百是一千（千的方块，把一千画成一整块立方体，让从扁平的一百跳上来这一步看得见），同一个动作再做三次就到一百万 —— 这是数到一百万的主题。

百万位十万位万位千位百位十位个位
4207000

4,207,000 读作四百二十万零七千。那些逗号不是装饰 —— 它们把数字三个一组，好让“千”和“百万”这些词在读出声时落在该落的地方。

零是最难的部分，也是最要紧的部分。零不是“这里什么都没有”；它是“这一列空着，但它左边的列还在原地”。把 4,207,000 里的零抽掉就得到 427，一个小了四个数量级的数。

怎么给一个数四舍五入，凑到哪一位？

只看你要保留的那一位紧后面的一个数字：五或更大就进，四或更小就不动。保留位右边的一律变成零。

3,470 凑到最近的百 → 十位是 7 → 3,500。 3,428 凑到最近的百 → 十位是 2 → 3,400。

凑到最近的十在数轴上开这个头，“往上还是往下”在那里明明白白就是“你离哪个刻度更近”；凑到最近的百和千展示同一个动作往左挪一列，分毫不变。

做决定的只有一位。3,449 凑成 3,400 —— 尽管那个 49 几乎是 50 —— 因为“最近的百”问的是这个数过没过 3,450 那道中线，而 3,449 没过。连凑两次 —— 3,449 先到 3,450 再到 3,500 —— 是经典错误，错就错在让一个已经被舍掉的数字又投了一次票。

什么时候改用有效数字？

在数的大小事先不知道的时候。小数位从小数点数起；有效数字从第一个非零数字数起，所以不管数是一百万还是一个千分之一，它保住的细节比例相同。有效数字把数法定准，包括从来不算数的前导零和有时算数的末尾零。

一位有效数字就够在信任几乎任何计算之前先验它一验 —— 一位有效数字估算把 38 × 512 在一秒钟里变成 40 × 500 = 20,000，这正好够你逮住一个算成 1,945 或 194,560 的答案。估算指南把这个习惯讲透。

四舍五入也有代价，而且代价能说得一清二楚。界限与误差区间说明：记到最近一厘米的 24 cm，其实落在 23.5 ≤ x < 24.5 里的某处；百分误差再把这道缝变成一个比例 —— 正是这种形式，才让桥上的误差和螺栓上的误差比得起来。

负数是什么？

负数就是数轴不在零停下时你得到的东西。它们和正数一样真实，遵守的规则也一模一样 —— 别扭全出在方向上，而一旦你盯着的就是方向，别扭就散了。

零下在负数本来就住着的地方介绍它们：气温、地下楼层、欠的钱。负数排大小接着钉死那个人人都栽过的比较 —— −7 比 −3 小，因为它更靠下，哪怕 7 比 3 大。

把负数读成“一个带着负号的大小”，排序才显得反着来。改读成一个位置：−7 是从零往下七步，−3 是往下三步，更低就是更小。数轴不是绕着零的一面镜子；它是一条一直走下去的路。

跨过零的加减

加法向右走，减法向左走，不管你从零的哪一边出发。跨过零的加减专练这些穿越：−4 + 7 = 3 是先四步爬到零，再往前三步。

减去负数是那个需要理由、光有规则不够的动作，减去负数给了两个。第一个是规律：5 − 1 = 4，5 − 0 = 5，5 − (−1) = 6，每次涨一，在换号的地方没有一丝裂缝。第二个是含义：拿走一笔三块钱的债，你就宽裕了三块，所以 5 − (−3) = 8。

绝对值是只关心距离的那些时刻用的工具。|−7| = 7 —— 离零多远，不管朝哪边 —— 有了它，一条公差写一遍就够，不用写两遍。

为什么两个负数相乘得正

因为乘一个负数是调转方向，调转两次就又朝前了。负数的乘除把同一个论证摆成一条不肯断的规律：

3 × (−2) = −6，2 × (−2) = −4，1 × (−2) = −2，0 × (−2) = 0。每个答案比上一个高 2。让这条平稳的爬升继续走，就得到 (−1) × (−2) = 2。

这不是为了好看才选的约定。要是 (−1) × (−2) 等于 −2，乘法对加法就不再分配，算术的其余部分会散架。这条规则是被“想让别的规则继续成立”逼出来的 —— 符号规则之所以是它那个样子，通常就是这个原因。

四个值得点名的错误

接下来通向哪里

位值是竖式方法站着的地基：进位和借位就是动起来的位值，它们在心算与竖式算术方法指南里一步步过。把列往个位的右边延伸，而不是左边，就得到十分位和百分位 —— 那是小数指南和更完整的小数、百分数与利息（英文）阶梯的主题。而追问哪些整数整除哪些，会走进因数、倍数与质数（英文）。

在游戏里练

Math Challenge 是一款心算游戏，上面每一步都有一节配图的课 —— 有图，有一步步推出来的过程，还有专门重教你刚错的那道题、而不是旁边某道题的试一试。这页点到名的课，属于一套横跨整条阶梯的 800 多节课程目录，从第一次数数到大学入学的内容。

想刷题而不是读书的话，负数专题把符号规则练到不用过脑，四舍五入专题对位值判断做同一件事。

轮到你了

三题试一试，点选作答。

3,742 中的 7 表示多少？

把 4,861 四舍五入到百位。

哪一个最大？

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