整数と位取り

10個の数字で、これまでに存在したすべての整数が書けます。これは偶然ではありませんし、別の決め方も簡単にできたはずの取り決めでもありません — 一つの考えを、何度も何度も当てはめた結果です。数字の値打ちは置かれた場所で決まり、どの位も右どなりの10個ぶんの重さを持つ、という考えです。

このページはその考えを、最初の数えることから100万まで追いかけ、それから、みんながほんとうに苦労する二つのこと — ちょうどよい細かさへの丸めと、0より下の数 — まで連れていきます。どの決まりにも例題と、それが成り立つ理由がついています。

位取りとは何か、なぜ大事か

位取りは「場所が大きさを運ぶ」という決まりです。3,507 では、3 は三千、5 は五百、0 は十の位を開けたまま支え、7 は一が七つ。数字は数え、位は重みをつけます。

子どもは段階を踏んでここに出会います。どの段階も「同じことの続き」ではなく本物の一歩です。まず数えること。10まで数えるで「最後に言った言葉が個数」ということが腹に落ち、1と1で最初のたし算が、暗記する事実ではなく絵になります。20までの数を書くは、書いた記号と口で言う言葉を結びつけるところで、5歳にとってはおどろくほどの大仕事です — 「じゅうよん」は二つの言葉なのに、書くのは 14 というひとつづりなのですから。

くらべることは、数えることのあとではなく、となりにやってきます。多いと少ないは一対一に並べてくらべることを教えるので、答えは正しく数えられたかどうかに頼りません。そして、数の組 — 5になる組、続いて10になる組 — は、のちのすべてが寄りかかる少数の事実です。10は、この仕組みぜんたいがそのまわりに組み立てられた数だからです。

数はどうやって10より大きくなるのか

たばねることによってです。一が10個で十が一つになり、十は自分の位に入ります。十と一はそのたばが目に見えるようになるレッスンで、100まで数えるは、その繰り返しが信じられるようになるまで続くところです。

そして同じことが、姿を変えずにもう一度起こります。十が10個で百（百）、百が10個で千（千の立方体 — 千をかたまりの箱として描くので、平たい百からの跳びが目で見えます）、同じ動きをあと3回で100万 — 100万までの数の主題です。

4,207,000 は「四百二十万七千」と読みます。区切りのコンマは飾りではありません — 数字を3けたずつたばね、声に出したときに「千」「百万」という言葉が正しい場所に落ちるようにしています。

数はどう丸めるのか、どこまで丸めるのか

残す位のすぐ次の1文字を見ます。5以上なら切り上げ、4以下ならそのまま。残した位より右は、すべて0になります。

3,470 を百の位まで → 十の位は $7\to 3$7 → 3,500。 3,428 を百の位まで → 十の位は $2\to 3$2 → 3,400。

十の位への四捨五入はこれを数直線の上で始めます。そこでは「上げるか下げるか」が、どちらの目盛りに近いかという目で見える問いです。百・千の位への四捨五入は、同じ動きが姿を変えずに一つ左の位へすべることを見せます。

有効数字を使うのはいつか

数の大きさが前もってわからないときです。小数点以下のけた数は小数点から数えますが、有効数字は最初の0でない数字から数えるので、数が100万でも1000分の1でも、同じ割合の細かさを保ちます。有効数字は、決して数えない先頭の0と、ときどき数える末尾の0を含めて、数え方の決まりを正確にします。

有効数字1けたあれば、ほとんどどんな計算も、信じる前にたしかめられます — 有効数字1けたで見積もるは 38 × 512 を一瞬で 40 × 500 = 20,000 に変えます。答えが 1,945 や 194,560 と出てきたときにつかまえるには、それで十分です。この習慣は見積もりのガイドがじっくり扱います。

丸めには代償もあり、その代償は正確に述べられます。上限・下限と誤差の区間は、センチメートル単位で 24 cm と記録された長さが、実際には 23.5 ≤ x < 24.5 のどこかにあることを見せ、百分率誤差はその幅を割合に直します。橋の誤差とボルトの誤差をくらべられる形は、そちらです。

負の数とは何か

負の数は、数直線が0で止まらなかったときに得られるものです。正の数と同じだけ本物で、まったく同じ決まりに従います — やっかいさの正体はすべて「向き」で、向きこそを追いかけるようになれば晴れていきます。

0より下は、たいていの人にとって負の数がすでに住んでいる場所 — 気温、地下の階、借りたお金 — から紹介します。続いて負の数の並べ方が、全員を引っかける一つのくらべを直します — −7 は −3 より小さい。7 は 3 より多くても、より下にあるからです。

0をまたぐたし算とひき算

たし算は右へ、ひき算は左へ — 0のどちら側から始めても同じです。0をまたいで足し引きするが渡り方を練習します。−4 + 7 = 3 は、0まで四歩のぼって、さらに三歩です。

負の数を引くことは、決まりではなく理由が要る動きで、負の数を引くは理由を二つ与えます。一つは並びです。5 − 1 = 4、5 − 0 = 5、5 − (−1) = 6 — 符号の変わり目にも切れ目なく、一段ずつのぼります。もう一つは意味です。3の借金を取り除けば3だけ暮らし向きがよくなる。だから 5 − (−3) = 8。

絶対値は、距離だけが問題になるときの道具です。|−7| = 7 — どちら向きかではなく、0からどれだけ遠いか。許容差を二度ではなく一度で書けるのは、これのおかげです。

負×負が正になる理由

負の数をかけることは向きを反対にすることで、二度反対にすれば前を向くからです。負の数のかけ算とわり算は、同じ論法を、壊れることを拒む並びとして見せます。

3 × (−2) = −6、2 × (−2) = −4、1 × (−2) = −2、0 × (−2) = 0。答えは一段ごとに 2 ずつのぼります。その一定ののぼりを続ければ (−1) × (−2) = 2 です。

名前をつけておく値打ちのある間違い、四つ

• 0を「何もない」と読む。0は位を開けて支えています。4,207,000 から0を落とすと、数は短くなるのではなく、1万分の1に縮みます。
• 二段階で丸める。3,449 を百の位までにすると 3,400。先に 3,450 にしてから 3,500 にするのは、一つの数字に二度投票させることです。
• −7 を −3 より大きいとあつかう。0から遠いことは、上にあることではありません。くらべるのは線の上の位置であって、符号を貼りつけた大きさではありません。
• 先頭の0を有効数字に数える。0.00427 は有効数字3けたで、5けたではありません。有効は、0でない最初の数字から始まります。

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位取りは、筆算の方法が立つ土台です。くり上がりもくり下がりも、動いている位取りにほかならず、暗算と筆算の方法のガイドがひとつずつ通ります。位を一の位の右へのばせば、10分の1と100分の1 — 小数のガイドと、より広い小数・百分率・利息の段ばしごの主題です。そして、どの整数がどの整数を割り切るかを問えば、約数・倍数・素数（英語）へ続きます。

ゲームで練習する

Math Challenge は暗算ゲームで、上のどの段階にも図解レッスンがあります — 絵と、順を追った導き、そして間違えたまさにその問題を（近くの別問題ではなく）教え直す練習問題です。このページで名前をあげたレッスンは、最初の数えることから大学入学前の話題まで、段ばしご全体で800本を超えるカタログの一部です。

読むより鍛えたいなら、負の数のトピックが符号の決まりを考えなくてすむようになるまで回し、四捨五入のトピックが位取りの判断に同じことをします。

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