Wie addiert man Brüche mit verschiedenen Nennern?

Schreibe beide Brüche so um, dass sie gleich große Stücke zählen, und addiere dann die Anzahlen. Für 1/3 + 1/4 passen Zwölftel zu beiden: 1/3 sind 4/12 und 1/4 sind 3/12, das Ergebnis ist also 7/12. So wie sie dastehen lassen sich die Zahlen nicht addieren, denn Drittel und Viertel sind unterschiedlich große Stücke — der gemeinsame Nenner ist der Schritt, der sie vergleichbar macht.

Warum addiert man die Nenner nicht?

Weil der Nenner keine Menge ist, die addiert wird: Er nennt die Größe des Stücks. In 2/5 sagt die 5 „Fünftel“ und die 2 sagt „zwei davon“. Rechnete man 1/2 + 1/2, indem man beide Zeilen addiert, käme 2/4 heraus, also eine Hälfte — richtig ist 1. Sobald die Nenner übereinstimmen, addiert man Anzahlen gleich großer Stücke, und nur der Zähler bewegt sich.

Wie kürzt man einen Bruch?

Teile Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl, bis nichts mehr beide teilt. 18/24 lässt sich durch 6 teilen und wird zu 3/4. Beide durch dieselbe Zahl zu teilen ist eine Division durch 1 in Verkleidung: Der Wert ändert sich nie, nur die Beschreibung. Am schnellsten geht es über den ggT, aber wiederholtes Halbieren führt auch ans Ziel.

Wie vergleicht man zwei Brüche?

Bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner und vergleiche die Zähler, oder multipliziere über Kreuz: Für 3/5 gegen 5/8 vergleicht man 3 mal 8 mit 5 mal 5, also 24 gegen 25 — 5/8 ist größer. Das Kreuzprodukt ist die Methode des gemeinsamen Nenners, bei der man den gemeinsamen Nenner gar nicht erst hinschreibt, und deshalb funktioniert sie.

Was ist ein gleichwertiger Bruch?

Eine andere Beschreibung derselben Menge: 1/2, 2/4, 3/6 und 50/100 sind alle eine Hälfte. Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren zerschneidet jedes Stück in gleich viele kleinere Stücke und nimmt entsprechend mehr davon — die Menge in der Hand bleibt dieselbe.

Brüche

Fast alles, was an Brüchen schwerfällt, geht auf einen übersprungenen Gedanken zurück: Die untere Zahl ist keine Menge, sie ist eine Einheit. In 3/5 sagt die 5, welche Stückgröße gezählt wird — Fünftel — und die 3 sagt, wie viele davon man hat.

Addieren lässt sich nur, was in derselben Einheit gemessen ist, und das ist die ganze Geschichte des gemeinsamen Nenners.

Was ein Bruch tatsächlich sagt

Schneide etwas in gleich große Stücke. Die untere Zahl (der Nenner) sagt, in wie viele Stücke das Ganze geschnitten wurde. Die obere Zahl (der Zähler) sagt, wie viele davon man hält.

3/4 heißt: in 4 gleiche Teile schneiden, 3 davon nehmen.

Drei von vier Stücken sind nur dann 3/4, wenn die vier Stücke gleich groß sind. Das ist der Unterschied zwischen einem Bruch und einer ungefähren Aufteilung, und es ist der Grund, warum Bruchrechnung Rechnen ist und nicht Beschreiben.

Ein größerer Nenner bedeutet kleinere Stücke

1/8 ist kleiner als 1/3, obwohl 8 größer ist als 3. Einen Kuchen in acht Stücke zu schneiden gibt pro Stück weniger als ihn in drei zu schneiden.

Das ist die mit Abstand häufigste Verwechslung, und sie entsteht daraus, die untere Zahl als Größe zu lesen statt als Anzahl der Schnitte. Mehr Schnitte, kleinere Stücke.

Erweitern: gleichwertige Brüche

Multipliziere Zähler und Nenner mit derselben Zahl, und der Wert ändert sich nicht.

1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100. 2/3 = 8/12 (beide × 4).

Du schneidest jedes vorhandene Stück in gleich viele kleinere Stücke und nimmst dann entsprechend mehr davon. Doppelt so viele Stücke, jedes halb so groß — in der Hand liegt genau das, was vorher darin lag. Geändert hat sich die Beschreibung, nicht die Menge.

Addieren, Subtrahieren und Vergleichen beginnen alle damit, Brüche so umzuschreiben, dass sie gleich große Stücke beschreiben.

Kürzen

Das Erweitern rückwärts: Teile Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl, bis nichts mehr beide teilt.

18/24 → beide durch 6 → 3/4. 8/12 → beide durch 4 → 2/3.

Wenn du den ggT nicht siehst, halbiere wiederholt, oder zieh eine offensichtliche 2, 3 oder 5 heraus und schau noch einmal. 40/100 → 20/50 → 10/25 → 2/5. Du landest am selben Ort, nur in mehr Schritten.

Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl zu teilen ist eine Multiplikation mit 1 in Verkleidung — 6/6 ist 1, und die Multiplikation mit 1 ändert nichts. Deshalb ist Kürzen immer erlaubt und ändert nie das Ergebnis.

Brüche vergleichen

Gleicher Nenner: die Zähler vergleichen

5/8 > 3/8, denn fünf Achtel sind mehr Achtel als drei.

Gleicher Zähler: der größere Nenner ist der kleinere Bruch

3/5 > 3/8 — gleich viele Stücke, aber Fünftel sind größer als Achtel.

Weder noch: über Kreuz multiplizieren

Um 3/5 und 5/8 zu vergleichen, multipliziere jeden Zähler mit dem Nenner des anderen.

3 × 8 = 24 gegen 5 × 5 = 25, also ist 5/8 größer.

Das ist die Methode des gemeinsamen Nenners, bei der man den gemeinsamen Nenner nicht hinschreibt. Beide Brüche würden auf 40 gebracht — zu 24/40 und 25/40 — und weil die Nenner dann gleich sind, entscheiden nur die Zähler. Den Schritt zu überspringen, den man ohnehin nicht gebraucht hätte, ist der ganze Trick.

Mit einer Hälfte vergleichen

Die schnellste Prüfung überhaupt: Verdopple den Zähler und sieh, wo er gegenüber dem Nenner landet. 7/16 — das Doppelte von 7 ist 14, weniger als 16, also unter einer Hälfte.

Brüche addieren und subtrahieren

Gleicher Nenner: Zähler addieren, Nenner behalten

2/7 + 3/7 = 5/7.

Zwei Siebtel plus drei Siebtel sind fünf Siebtel — aus demselben Grund, aus dem zwei Meter plus drei Meter fünf Meter sind. Die Einheit wird nicht addiert; sie ist das, was die Anzahlen überhaupt addierbar macht.

Verschiedene Nenner: erst gleichnamig machen

Suche eine Zahl, in die beide Nenner passen, schreibe beide Brüche darauf um, und addiere dann die Zähler.

1/3 + 1/4 → Zwölftel → 4/12 + 3/12 = 7/12.

2/5 + 1/2 → Zehntel → 4/10 + 5/10 = 9/10.

Die beiden Nenner zu multiplizieren liefert immer einen gemeinsamen Nenner, und das klappt ausnahmslos. Es liefert nur manchmal eine größere Zahl als nötig: Für 1/6 + 1/4 könntest du 24 nehmen, aber 12 reicht und lässt weniger zu kürzen übrig.

Drittel und Viertel sind unterschiedlich große Stücke, ihre Anzahlen lassen sich also nicht so addieren, wie sie dastehen. Zwölftel dagegen lassen sich aus beiden bauen — vier davon ergeben ein Drittel, drei davon ein Viertel — also bringt das Umschreiben in Zwölftel beide Mengen in eine einzige Einheit. Dann, und erst dann, addieren sich die Anzahlen.

Subtrahieren ist derselbe Griff

3/4 − 2/3 → Zwölftel → 9/12 − 8/12 = 1/12.

Gemischte Zahlen: die Ganzen getrennt behandeln

2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, und 1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, also 4 1/4.

Wenn beim Subtrahieren der Bruchteil nicht reicht, borge dir ein Ganzes und wandle es in Stücke um: 3 1/5 − 1 3/5 → geborgt: 2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5.

Multiplizieren und dividieren

Das sind die, die man für schwerer hält, und sie sind leichter.

Multiplizieren: geradeaus

2/3 × 4/5 = 8/15. Kein gemeinsamer Nenner nötig.

„Von“ ist hier die Bedeutung der Multiplikation. Zwei Drittel von vier Fünfteln: Nimm vier Fünftel, schneide jedes Fünftel in drei, und das Ganze ist jetzt in Fünfzehnteln. Daher kommt die 15 — und von jenen vier Stücken zwei von je drei zu nehmen ergibt 8. Nichts muss vorher zusammenpassen, denn du addierst keine Anzahlen, du schneidest neu.

Dividieren: mit dem Kehrwert multiplizieren

1/2 ÷ 1/6 = 1/2 × 6/1 = 6/2 = 3.

Lies es als Frage: Wie viele Sechstel passen in eine Hälfte? Drei. Das ist die Antwort, und um sie zu sehen, musste nichts umgedreht werden — der Kehrwert ist die Abkürzung für „wie viele von diesen passen in jenes“. Durch 1/6 zu teilen macht die Sache sechsmal so groß, aus demselben Grund, aus dem ein Kuchen in Sechstel-Portionen sechsmal so viele Portionen ergibt wie in ganzen.

Brüche, Dezimalzahlen und Prozente

Drei Schreibweisen für einen Gedanken. Ein Bruch ist eine Division, die noch aussteht: 3/4 ist 3 ÷ 4 = 0.75, also 75 %.

Bruch	Dezimalzahl	Prozent
1/2	0.5	50 %
1/4	0.25	25 %
3/4	0.75	75 %
1/5	0.2	20 %
1/3	0.333…	33.3 %
1/8	0.125	12.5 %

Diese Handvoll auf einen Blick zu kennen nimmt fast alle Rechenarbeit aus alltäglichen Prozentfragen — mehr dazu im Ratgeber zur Prozentrechnung.

Die vier Fehler, die einen Namen verdienen

Die Nenner addieren. 1/2 + 1/2 ist 1, nicht 2/4. Der Nenner ist die Einheit; er sammelt sich nicht an.
Einen größeren Nenner als größeren Bruch lesen. 1/8 < 1/3. Mehr Schnitte, kleinere Stücke.
Nur den Zähler kürzen. Was du mit der einen Zeile machst, machst du mit der anderen, sonst verschiebt sich der Wert.
Vor dem Multiplizieren einen gemeinsamen Nenner suchen. Falsch ist es nicht, aber es ist vergeudete Arbeit — die Multiplikation braucht keine gleichen Einheiten.

Im Spiel üben

Math Challenge hat ein Thema Brüche, das Addieren und Subtrahieren trainiert — die beiden, die einen gemeinsamen Nenner brauchen, und die beiden, die schiefgehen. Es beginnt mit gleichen oder entgegenkommenden Nennern und weitet sich, sobald du sie triffst.

Daneben stehen Themen für Dezimalzahlen, Prozente und den Rest der Rechenleiter, dazu eine kostenlose Tagesaufgabe, die kein Konto braucht.

Diese Seite ist die kurze Antwort. Für die vollständige Lernleiter — unechte Brüche und gemischte Zahlen, Bruchteile von Größen, drei Brüche auf einmal ordnen, und zu jeder Sprosse eine bebilderte Lektion — siehe gleichwertige Brüche und gemischte Zahlen (auf Englisch).

Du bist dran

Drei zum Ausprobieren — tippe, was du herausbekommst.

1/3 + 1/4

Welcher Bruch ist größer?

2/3 × 4/5

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