Come si sommano frazioni con denominatori diversi?

Riscrivi entrambe le frazioni in modo che contino pezzi della stessa misura, poi somma i conteggi. Per 1/3 + 1/4 i dodicesimi vanno bene per tutte e due: 1/3 è 4/12 e 1/4 è 3/12, quindi il risultato è 7/12. Non puoi sommare i numeri così come sono perché i terzi e i quarti sono pezzi di misura diversa - il denominatore comune è il passaggio che li rende confrontabili.

Perché non si sommano i denominatori?

Perché il denominatore non è una quantità che viene sommata: dice la misura del pezzo. In 2/5 il 5 dice 'quinti' e il 2 dice 'due di quelli'. Sommare 1/2 + 1/2 sommando anche le righe di sotto darebbe 2/4, cioè un mezzo, mentre la risposta vera è 1. Quando i denominatori coincidono stai sommando conteggi di pezzi identici, e si muove solo il numeratore.

Come si semplifica una frazione?

Dividi sopra e sotto per lo stesso numero finché non c'è più niente che divida entrambi. 18/24 diviso per 6 dà 3/4. Dividere entrambi per lo stesso numero è dividere per 1 travestito, quindi il valore non cambia mai: cambia solo la descrizione. La strada più rapida è il massimo comune divisore, ma anche dimezzare più volte ci arriva.

Come si confrontano due frazioni?

Dai loro un denominatore comune e confronta i numeratori, oppure moltiplica in croce: per 3/5 contro 5/8 confronta 3 per 8 con 5 per 5, cioè 24 contro 25, e 5/8 è la maggiore. Moltiplicare in croce è il metodo del denominatore comune con il fondo condiviso lasciato non scritto, ed è per questo che funziona.

Che cos'è una frazione equivalente?

Una descrizione diversa della stessa quantità: 1/2, 2/4, 3/6 e 50/100 sono tutte un mezzo. Moltiplicare sopra e sotto per lo stesso numero taglia ogni pezzo nello stesso numero di pezzi più piccoli e ne prende proporzionalmente di più, quindi la quantità che hai in mano non cambia.

Frazioni

Quasi tutto ciò che risulta difficile nelle frazioni nasce da un'idea che viene saltata: il numero in basso non è una quantità, è un'unità di misura. In 3/5 il 5 dice che misura hanno i pezzi che stai contando — quinti — e il 3 dice quanti ne hai.

Si possono sommare solo cose misurate nella stessa unità, ed è tutta qui la storia del denominatore comune.

Che cosa dice davvero una frazione

Taglia qualcosa in pezzi uguali. Il numero in basso (il denominatore) dice in quanti pezzi è stato tagliato l'intero. Quello in alto (il numeratore) dice quanti di quei pezzi hai in mano.

3/4 significa: taglia in 4 parti uguali e prendine 3.

Tre pezzi su quattro sono 3/4 solo se i quattro pezzi hanno la stessa misura. È questa la differenza fra una frazione e una divisione approssimativa, ed è ciò che rende le frazioni aritmetica e non descrizione.

Un denominatore più grande vuol dire pezzi più piccoli

1/8 è più piccolo di 1/3, anche se 8 è più grande di 3. Tagliare una torta in otto dà meno per fetta che tagliarla in tre.

È la fonte di confusione più comune in assoluto, e nasce dal leggere il numero in basso come una misura invece che come un numero di tagli. Più tagli, pezzi più piccoli.

Frazioni equivalenti

Moltiplica sopra e sotto per lo stesso numero e il valore non cambia.

1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100. 2/3 = 8/12 (entrambi × 4).

Stai tagliando ogni pezzo esistente nello stesso numero di pezzi più piccoli, e poi ne prendi proporzionalmente di più. Il doppio dei pezzi, ciascuno grande la metà: hai in mano esattamente quello che avevi prima. A cambiare è la descrizione, non la quantità.

Sommare, sottrarre e confrontare cominciano tutti riscrivendo le frazioni finché non descrivono pezzi della stessa misura.

Semplificare

Fai girare l'equivalenza al contrario: dividi sopra e sotto per lo stesso numero finché non resta niente che divida entrambi.

18/24 → dividi entrambi per 6 → 3/4. 8/12 → dividi entrambi per 4 → 2/3.

Se non riesci a vedere il massimo comune divisore, dimezza più volte, oppure togli un 2, un 3 o un 5 evidente e guarda di nuovo. 40/100 → 20/50 → 10/25 → 2/5. Arrivi allo stesso punto, solo con più passaggi.

Dividere sopra e sotto per lo stesso numero è moltiplicare per 1 travestito — 6/6 è 1, e moltiplicare per 1 non cambia niente. È per questo che semplificare è sempre lecito e non cambia mai il risultato.

Confrontare le frazioni

Stesso denominatore: confronta i numeratori

5/8 > 3/8, perché cinque ottavi sono più ottavi di tre.

Stesso numeratore: il denominatore più grande è il minore

3/5 > 3/8 — lo stesso numero di pezzi, ma i quinti sono più grandi degli ottavi.

Né l'uno né l'altro: moltiplica in croce

Per confrontare 3/5 e 5/8, moltiplica ogni numeratore per il denominatore dell'altra.

3 × 8 = 24 contro 5 × 5 = 25, quindi 5/8 è la maggiore.

È il metodo del denominatore comune con il fondo condiviso lasciato non scritto. Le due frazioni verrebbero riscritte su 40 — come 24/40 e 25/40 — e poiché i denominatori sarebbero identici, decidono solo i numeratori. Saltare il passaggio che comunque non avresti usato: tutto il trucco è qui.

Confrontala con un mezzo

La verifica più rapida di tutte: raddoppia il numeratore e guarda come si posiziona rispetto al denominatore. 7/16 — il doppio di 7 è 14, che è meno di 16, quindi sta sotto un mezzo.

Sommare e sottrarre frazioni

Stesso denominatore: somma i numeratori, tieni il denominatore

2/7 + 3/7 = 5/7.

Due settimi più tre settimi fanno cinque settimi per lo stesso motivo per cui due metri più tre metri fanno cinque metri. L'unità non viene sommata: è ciò che rende sommabili i conteggi.

Denominatori diversi: prima falli coincidere

Trova un numero in cui entrano entrambi i denominatori, riscrivi le due frazioni su quello, poi somma i numeratori.

1/3 + 1/4 → dodicesimi → 4/12 + 3/12 = 7/12.

2/5 + 1/2 → decimi → 4/10 + 5/10 = 9/10.

Moltiplicare i due denominatori dà sempre un denominatore comune, e funziona sempre. Solo che a volte dà un numero più grande del necessario: per 1/6 + 1/4 potresti usare 24, ma 12 va bene e lascia meno da semplificare.

Terzi e quarti sono pezzi di misura diversa, quindi i loro conteggi non si possono sommare così come sono. I dodicesimi si possono ricavare da entrambi — quattro di loro fanno un terzo, tre di loro fanno un quarto — quindi riscrivere in dodicesimi mette le due quantità in un'unica unità. Allora, e solo allora, i conteggi si sommano.

La sottrazione è la stessa mossa

3/4 − 2/3 → dodicesimi → 9/12 − 8/12 = 1/12.

Numeri misti: tratta gli interi a parte

2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, e 1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, quindi 4 1/4.

Per una sottrazione in cui la parte frazionaria non basta, prendi in prestito un intero e trasformalo in pezzi: 3 1/5 − 1 3/5 → in prestito: 2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5.

Moltiplicare e dividere

Sono quelle che ci si aspetta più difficili, e sono più facili.

Moltiplicare: dritto per dritto

2/3 × 4/5 = 8/15. Nessun denominatore comune richiesto.

Qui "di" è ciò che significa moltiplicare. Due terzi di quattro quinti: prendi quattro quinti, taglia ogni quinto in tre, e l'intero adesso è in quindicesimi. Da lì viene il 15 — e prendere due ogni tre di quei quattro pezzi dà 8. Non deve coincidere niente prima, perché non stai sommando conteggi: stai ritagliando.

Dividere: rovescia la seconda e moltiplica

1/2 ÷ 1/6 = 1/2 × 6/1 = 6/2 = 3.

Leggila come una domanda: quanti sesti stanno dentro un mezzo? Tre. È questa la risposta, e per vederla non serviva rovesciare nulla — il rovesciamento è una scorciatoia per "quanti di questi stanno in quello". Dividere per 1/6 rende le cose sei volte più grandi per lo stesso motivo per cui dividere una torta in porzioni da un sesto dà sei volte più porzioni che dividerla in torte intere.

Frazioni, decimali e percentuali

Tre notazioni per una stessa idea. Una frazione è una divisione in attesa: 3/4 è 3 ÷ 4 = 0.75, cioè il 75%.

Frazione	Decimale	Percentuale
1/2	0.5	50%
1/4	0.25	25%
3/4	0.75	75%
1/5	0.2	20%
1/3	0.333…	33.3%
1/8	0.125	12.5%

Riconoscere questa manciata a colpo d'occhio toglie quasi tutti i conti dalle domande sulle percentuali di tutti i giorni — se ne parla di più nella guida alle percentuali.

I quattro errori da nominare

Sommare i denominatori. 1/2 + 1/2 fa 1, non 2/4. Il denominatore è l'unità; non si accumula.
Leggere un denominatore più grande come una frazione più grande. 1/8 < 1/3. Più tagli, pezzi più piccoli.
Semplificare solo il numeratore. Quello che fai a una riga lo fai anche all'altra, altrimenti il valore si sposta.
Cercare il denominatore comune prima di moltiplicare. Non è sbagliato, è lavoro buttato: la moltiplicazione non ha bisogno di unità che coincidano.

Allena tutto questo nel gioco

Math Challenge ha un argomento Frazioni che allena a sommare e sottrarre frazioni — le due operazioni che hanno bisogno del denominatore comune, e le due che si sbagliano di più. Parte da denominatori uguali o comodi e si allarga man mano che le indovini.

Sta accanto agli argomenti su decimali, percentuali e al resto della scala aritmetica, più una Sfida del Giorno gratuita che non richiede alcun account.

Questa pagina è la risposta breve. Per la scala didattica completa — frazioni improprie e numeri misti, frazioni di una quantità, ordinarne tre alla volta e una lezione illustrata dietro ogni gradino — vedi frazioni equivalenti e numeri misti (in inglese).

Tocca a te

Tre da provare: tocca la tua risposta.

1/3 + 1/4

Qual è maggiore?

2/3 × 4/5

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