Les fractions

Presque toute la difficulté des fractions vient d'une idée que l'on saute : le nombre du bas n'est pas une quantité, c'est une unité. Dans $\frac{3}{5}$3/5, le 5 dit quelle taille de part on compte — des cinquièmes — et le 3 dit combien on en a.

On ne peut additionner que des choses mesurées dans la même unité : c'est toute l'histoire du dénominateur commun.

Ce qu'une fraction dit vraiment

Coupez quelque chose en parts égales. Le nombre du bas (le dénominateur) dit en combien de parts le tout a été coupé. Le nombre du haut (le numérateur) dit combien de ces parts vous tenez.

$\frac{3}{4}$3/4, c'est : couper en 4 parts égales, en prendre 3.

Un dénominateur plus grand, ce sont des parts plus petites

$\frac{1}{8}$1/8 est plus petit que $\frac{1}{3}$1/3, alors même que 8 est plus grand que 3. Couper un gâteau en huit donne moins par part que le couper en trois.

Les fractions équivalentes

Multipliez le haut et le bas par le même nombre : la valeur ne change pas.

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100. 2/3 = 8/12 (les deux × 4).

Additionner, soustraire et comparer commencent tous par réécrire les fractions jusqu'à ce qu'elles décrivent des parts de la même taille.

Simplifier

Faites tourner l'équivalence à l'envers : divisez le haut et le bas par le même nombre jusqu'à ce que plus rien ne divise les deux.

18/24 → diviser les deux par $6\to \frac{3}{4}$6 → 3/4. 8/12 → diviser les deux par $4\to \frac{2}{3}$4 → 2/3.

Si vous ne repérez pas le PGCD, divisez par deux à répétition, ou sortez un 2, un 3 ou un 5 évident et regardez à nouveau. $\frac{40}{100}\to \frac{20}{50}\to \frac{10}{25}\to \frac{2}{5}$40/100 → 20/50 → 10/25 → 2/5. On arrive au même endroit, simplement en plus d'étapes.

Comparer des fractions

Même dénominateur : comparez les numérateurs

5/8 > 3/8, parce que cinq huitièmes, cela fait plus de huitièmes que trois.

Même numérateur : le plus grand dénominateur donne la plus petite fraction

3/5 > 3/8 — le même nombre de parts, mais les cinquièmes sont plus grands que les huitièmes.

Ni l'un ni l'autre : le produit en croix

Pour comparer $\frac{3}{5}$3/5 et $\frac{5}{8}$5/8, multipliez chaque numérateur par le dénominateur de l'autre.

3 × 8 = 24 contre 5 × 5 = 25, donc $\frac{5}{8}$5/8 est la plus grande.

Comparer à une moitié

Le contrôle le plus rapide de tous : doublez le numérateur et voyez où il tombe par rapport au dénominateur. $\frac{7}{16}$7/16 — le double de 7 est 14, inférieur à 16, donc c'est moins d'une moitié.

Additionner et soustraire des fractions

Même dénominateur : additionnez les numérateurs, gardez le dénominateur

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7.

Dénominateurs différents : rendez-les identiques d'abord

Trouvez un nombre que les deux dénominateurs divisent, réécrivez les deux fractions dessus, puis additionnez les numérateurs.

1/3 + 1/4 → en douzièmes → 4/12 + 3/12 = 7/12.

2/5 + 1/2 → en dixièmes → 4/10 + 5/10 = 9/10.

Multiplier les deux dénominateurs donne toujours un dénominateur commun, et cela marche à tous les coups. Cela donne simplement parfois un nombre plus grand que nécessaire : pour $\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$1/6 + 1/4 vous pourriez prendre 24, mais 12 suffit et laisse moins à simplifier.

La soustraction, c'est le même geste

3/4 − 2/3 → en douzièmes → 9/12 − 8/12 = 1/12.

Nombres fractionnaires : traitez les entiers à part

$2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, et $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, donc $4\frac{1}{4}$4 1/4.

Pour une soustraction où la partie fractionnaire ne passe pas, empruntez un entier et transformez-le en parts : 3 1/5 − 1 3/5 → emprunt : $2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5.

Multiplier et diviser

Ce sont celles que l'on redoute, et ce sont les plus faciles.

Multiplier : tout droit

$\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$2/3 × 4/5 = 8/15. Aucun dénominateur commun n'est nécessaire.

Diviser : retournez la seconde et multipliez

$\frac{1}{2}÷\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=\frac{6}{2}=3$1/2 ÷ 1/6 = 1/2 × 6/1 = 6/2 = 3.

Fractions, décimaux et pourcentages

Trois écritures pour une seule idée. Une fraction est une division en attente : $\frac{3}{4}$3/4, c'est 3 ÷ 4 = 0.75, c'est-à-dire 75 %.

Connaître cette poignée de valeurs à vue retire l'essentiel du calcul dans les questions de pourcentage du quotidien — il y a plus à ce sujet dans le guide des pourcentages.

Les quatre erreurs à nommer

• Additionner les dénominateurs. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 fait 1, pas $\frac{2}{4}$2/4. Le dénominateur est l'unité ; il ne s'accumule pas.
• Lire un dénominateur plus grand comme une fraction plus grande. 1/8 < 1/3. Plus de coupes, plus petites les parts.
• Ne simplifier que le numérateur. Ce que vous faites à une ligne, vous le faites à l'autre, sinon la valeur bouge.
• Chercher un dénominateur commun avant de multiplier. Ce n'est pas faux, c'est du travail perdu : la multiplication n'a pas besoin d'unités identiques.

S'entraîner dans le jeu

Math Challenge propose un thème Fractions qui travaille l'addition et la soustraction — les deux opérations qui demandent un dénominateur commun, et les deux que l'on rate. Il commence par des dénominateurs identiques ou accommodants, puis s'élargit à mesure que vous réussissez.

Il côtoie des thèmes pour les décimaux, les pourcentages et le reste de l'échelle arithmétique, ainsi qu'un Défi du jour gratuit qui ne demande aucun compte.

Cette page est la réponse courte. Pour l'échelle d'apprentissage complète — fractions impropres et nombres fractionnaires, fraction d'une quantité, ranger trois fractions à la fois, et une leçon illustrée derrière chaque barreau — voyez fractions équivalentes et nombres fractionnaires (en anglais).

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