दशमलव

दशमलव कोई नई तरह की संख्या नहीं है। यह भेस बदली हुई भिन्न है — ऐसी भिन्न जिसका हर दस, सौ या हज़ार है। 0.7 यानी $\frac{7}{10}$7/10. 0.35 यानी $\frac{35}{100}$35/100. बिंदु बस वह निशान है जहाँ पूर्ण संख्याएँ ख़त्म होती हैं और दशांश शुरू होते हैं।

स्थानों का मतलब

स्थानीय मान बिंदु के बाद भी ठीक वही करता रहता है जो पहले करता था: दाईं ओर हर क़दम पर मान दस गुना छोटा।

3.47 = 3 इकाई + 4 दशांश + 7 शतांश.

तुलना: ज़्यादा अंक यानी बड़ा — ऐसा नहीं है

क़दम-दर-क़दम:

1. पहले पूर्ण भाग की तुलना कीजिए।
2. पूर्ण भाग बराबर हों? तो दशांश, फिर शतांश — स्थान-दर-स्थान तुलना कीजिए।
3. लंबाई बेमेल हो? बराबर होने तक शून्य जोड़ दीजिए।

0.9 बनाम 0.35 → शून्य जोड़िए → 0.90 बनाम $0.35\to 90$0.35 → 90 शतांश, 35 से बड़ा → 0.9 जीता.

जोड़ना-घटाना: बिंदु एक सीध में

1. संख्याओं को इस तरह लिखिए कि उनके दशमलव बिंदु एक खड़ी रेखा में हों (छोटी संख्याओं में शून्य जोड़ लीजिए)।
2. स्तंभ-दर-स्तंभ जोड़िए या घटाइए, बिल्कुल पूर्ण संख्याओं की तरह — हासिल और उधार बिना बदले, बिंदु के आर-पार वैसे ही चलते हैं।
3. उत्तर में बिंदु उसी खड़ी रेखा में उतार दीजिए।

$3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. $5.2-1.84\to 5.20-1.84=3.36$5.2 − 1.84 → 5.20 − 1.84 = 3.36 (उधार बिना किसी तामझाम के बिंदु पार कर जाता है)।

गुणा: दशमलव स्थान गिनिए

1. बिंदुओं को अनदेखा कर पूर्ण संख्याओं का गुणा कीजिए।
2. दोनों गुणनखंडों के दशमलव स्थान गिनकर जोड़ लीजिए।
3. दाईं ओर से उतने स्थान अंदर बिंदु रख दीजिए।

0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → दो स्थान → 0.12.

2.5 × 0.3 → 25 × 3 = 75 → दो स्थान → 0.75.

भाग

दशमलव में पूर्ण संख्या का भाग: बिंदु सीधा ऊपर चढ़ता है

हमेशा की तरह लघु भाग कीजिए; उत्तर का बिंदु भाज्य के बिंदु के ठीक ऊपर बैठता है।

$7.5÷3\to 2.5$7.5 ÷ 3 → 2.5. (7 ÷ 3 = 2, शेष 1; हासिल से 15 दशांश बनते हैं; 15 ÷ 3 = 5 दशांश।)

दशमलव से भाग: भाजक पूर्ण होने तक दोनों को बढ़ाइए

1. दोनों संख्याओं को 10 से (बार-बार) गुणा कीजिए, जब तक भाजक पूर्ण संख्या न बन जाए।
2. फिर सामान्य ढंग से भाग दीजिए।

12 ÷ 0.4 → 120 ÷ 4 → 30.

दशमलव का पूर्णांकन

फ़ैसला एक अंक करता है: जिस स्थान तक पूर्णांकन करना है, उसके ठीक बाद वाला अंक। 5 या ज़्यादा — ऊपर; 4 या कम — जस का तस।

4.56 एक दशमलव स्थान तक → अगला अंक $6\to 4.6$6 → 4.6. 4.32 → अगला अंक $2\to 4.3$2 → 4.3.

इस पर — और हिसाब लगाने से पहले पूर्णांकन से उत्तर का अंदाज़ा लगाने पर — पूरी गाइड आकलन और पूर्णांकन (अंग्रेज़ी में) है।

मशहूर मान, ज़बानी

यही मुट्ठी भर मान रोज़मर्रा के ज़्यादातर हिसाब खोल देते हैं — अकेला 10% कितनी दूर ले जाता है, यह प्रतिशत की गाइड में है। (और 0.333… का आवर्ती होना कोई इत्तिफ़ाक़ नहीं: किसी भिन्न का दशमलव रुकता है या हमेशा दोहराता है, यह उसका हर तय करता है — यह कहानी ऐप का हर भिन्न क्यों रुकती या दोहराती है पाठ ठीक से सुनाता है।)

तीन ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

• लंबा यानी बड़ा। 0.35 < 0.9। बाईं ओर से स्थान-दर-स्थान तुलना कीजिए।
• जोड़ने के लिए सिरे मिलाना। सीध में बिंदु आते हैं; सिरे जितने चाहें बेमेल रहें।
• × से बढ़ने और ÷ से घटने की उम्मीद। 1 से नीचे दोनों काम बदल लेते हैं — 0.4 × 0.3 = 0.12, पर 12 ÷ 0.4 = 30।

ऐप में ठीक से सीखिए

ऐप दशमलव को एक पूरी पाठ-सीढ़ी की तरह पढ़ाता है — इनमें से हर एक चित्रों और अभ्यास-प्रश्नों वाला सचित्र पाठ है:

• दशमलव और शतांश — स्थानों का मतलब।
• दशमलवों की तुलना — ज़्यादा अंक यानी बड़ा नहीं।
• बिंदु की सीध, स्तंभों में जोड़, स्तंभों में घटाव — बिंदु सीध में रहता है।
• दशमलव को 10 और 100 से गुणा-भाग — अंक खिसकते हैं, बिंदु नहीं।
• दशमलव स्थान गिनना — बिंदुओं के बिना गुणा, फिर बिंदु रखना।
• दशमलव का भाग और दशमलव से भाग — बिंदु ऊपर चढ़ता है; भाजक पूर्ण बनाया जाता है।
• 0.5 यानी आधा — मशहूर मान ज़बानी।
• एक और दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकन — कट के बाद वाला अंक फ़ैसला करता है।

ये सब ऐप के Learn टैब में दशमलव पाठों में हैं।

दशमलव आगे पैसों और वृद्धि तक जाते हैं। प्रतिशत परिवर्तन, उलटा प्रतिशत, साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज, महँगाई और क़र्ज़ की किस्तें — सब वही स्थानीय मान समय पर लागू किया हुआ है, और ये सब दशमलव, प्रतिशत और ब्याज (अंग्रेज़ी में) में हैं।

खेल में अभ्यास

दशमलव विषय पहले एक और दो दशमलव स्थानों तक जोड़ने-घटाने का, फिर 0.4 × 0.3 जैसे दशमलव गुणा का, और कठिन स्तर पर 12 ÷ 0.4 जैसे दशमलव से भाग का अभ्यास कराता है — ठीक वही चालें जो यह गाइड सिखाती है।

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