运算顺序
每隔几个月就会在网上吵一次的式子：2 + 3 × 4。一半评论说 20，一半说 14，而说 14 的那一半是对的 —— 不是因为哪个委员会投过票，而是因为 3 × 4 从来就不是两个数，它是一整包。
这一页先把规则拆成三步，再讲它为什么存在，最后说清几乎所有错答案都出自的两个坑。
规则，三步
- 先括号。括号里的东西，要先算完才能跟外面打交道。
- 再乘除，从左往右。一层，一遍扫过去。（像 这样的乘方在这一层的正上方：先平方，再乘。）
- 最后加减，从左往右。同样是一层，一遍扫过去。
规则就这么多。课本上的“先括号，再乘除，后加减”，和英语世界的 PEMDAS、BODMAS，都是同一张单子换了顶帽子。
这个顺序为什么存在
乘法是压缩过的加法：3 × 4 的意思就是 4 + 4 + 4。所以 2 + 3 × 4 其实是 2 + (4 + 4 + 4) —— 一个 2，加上“三个 4”那么一包。这一包在句子写下来之前就已经成包了，× 号只是把它继续包着。在加 2 之前先拆包，不是对某条约定客气，而是照着写出来的意思去读。
括号是为相反的时刻准备的：当你想让加法先发生时，就把它说出口。(2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20。同样三个数，不同的句子。
例题，一层一层来
第二层压过第三层：先乘后加
2 + 3 × 4 → 2 + 12 → 14
5 × 2 + 3 × 4 → 10 + 12 → 22 —— 两个包都先拆开，然后才加。
括号改写句子
(2 + 3) × 4 → 5 × 4 → 20
18 − (4 + 6) → 18 − 10 → 8
四则一起上
按层走：先括号，再乘除，最后加减。
7 + 2 × 6 − 5 → 7 + 12 − 5 → 19 − 5 → 14
带乘方的
3² + 4 × 5 → 9 + 20 → 29 —— 平方最先拆开（它是再压缩了一层的乘法，所以住在更上面一层），然后是 ×，最后才是 +。
两个值得点名的坑
- 把乘和除读成两层。乘除是同一层，从左往右；加减也是。8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16，不是 1。8 − 2 + 5 = 6 + 5 = 11，不是 1。把所有乘法排在所有除法之前（或所有加法排在所有减法之前），是造了一个并不存在的优先级。
- 从右往左扫。在同一层里，方向是从左往右。它只在遇到 ÷ 和 − 时才要紧 —— 而那正是人们被烫到的地方。
为什么是从左往右？因为 − 和 ÷ 不对称：8 − 2 不是 2 − 8。约定挑定一个阅读方向，同一行式子对所有人才是同一个意思。只有加法和乘法的话，根本不需要这条规则 —— 换顺序它们也不变。这也解释了为什么这个坑只在减法和除法出现时才咬人。
在应用里系统地学
Math Challenge 把它拆成一条正经的课程阶梯，一课一个想法，每课都有图和随手试的题：
三课都在应用“学习”标签页的基础运算里。
在游戏里练
运算顺序这个专题练的正是这些形状：a + b × c、两个包的 a × b + c × d、带括号的 (a + b) × c，困难模式里还有四项的长式子和 这样的乘方。做对越多，难度越高。
轮到你了
三题试一试，点选作答。
3 + 4 × 2
(3 + 4) × 2
20 − 12 ÷ 4