Faktor, kelipatan, dan teori bilangan

Begitu kamu bisa membagi, satu pertanyaan langsung menyusul: pembagian mana yang keluar persis? Semua di halaman ini adalah jawaban atas pertanyaan itu, dari anak tujuh tahun yang menata keping ke dalam baris sama banyak sampai bukti bahwa bilangan prima tak pernah habis.

Ia juga cabang aritmetika paling praktis yang tak tampak praktis. Menyederhanakan pecahan adalah pertanyaan faktor. Dua bus yang berangkat bersama lalu bertemu lagi adalah pertanyaan kelipatan. Apakah sebuah desimal berhenti atau berulang selamanya diputuskan sepenuhnya oleh faktor prima penyebutnya.

Apa itu faktor, dan apa itu kelipatan?

Faktor membagi sebuah bilangan sampai habis; kelipatan adalah hasil mengalikannya. Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12 dan daftarnya berakhir di situ. Kelipatan 12 adalah 12, 24, 36, 48, … dan daftar itu tak pernah berakhir.

Habis Dibagi adalah tempat kata "habis" dipastikan artinya — tanpa sisa, tak ada yang tertinggal — dan Faktor serta Kelipatan menamai dua arahnya. Pasangan Faktor adalah yang membuat pencariannya andal: faktor datang berpasangan yang hasil kalinya bilangan itu, jadi memburu faktor 12 berarti memeriksa 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 lalu berhenti, karena setelah itu pasangannya berulang dengan urutan terbalik.

Keterbagian tanpa membagi

Ciri Habis Dibagi mengumpulkan pemeriksaan yang menjawab "apakah ini habis?" lebih cepat daripada pembagiannya sendiri.

Ciri jumlah-angka adalah yang menarik, dan bukan kebetulan: setiap pangkat sepuluh bersisa 1 saat dibagi 9, jadi sebuah bilangan dan jumlah angkanya menyisakan sisa yang sama. Fakta itu lebih berharga daripada cirinya — Membuang Sembilan untuk Memeriksa Hitungan mengubahnya menjadi cara memeriksa perkalian panjang dalam hitungan detik, dan Aritmetika Modular di Muka Jam adalah gagasan umum di baliknya: aritmetika yang hanya menyimpan sisa, cara kerja jam, kalender, dan angka pemeriksa.

Apa itu bilangan prima?

Prima adalah bilangan bulat di atas 1 yang faktornya hanya 1 dan dirinya sendiri. Merekalah bilangan yang tak bisa dipecah, dan itu menjadikan mereka bahan mentah tempat segala yang lain dibangun.

Saringan Eratosthenes adalah cara tertua menemukannya, dan ia algoritma yang sungguh bagus, bukan pajangan kelas: tulis bilangan-bilangannya, simpan 2 lalu coret setiap kelipatan 2 sesudahnya, simpan 3 lalu coret kelipatannya, dan teruskan. Yang selamat itulah prima, dan kamu tak pernah menguji keterbagian satu bilangan pun.

Faktorisasi Prima adalah imbalannya. Setiap bilangan bulat di atas 1 terurai menjadi prima dengan tepat satu cara — $180=2^2\times 3^2\times 5$180 = 2² × 3² × 5 — dan sidik jari yang unik itulah yang membuat bagian berikutnya bekerja.

FPB atau KPK — mana yang kamu butuhkan?

Tanyakan apakah kamu sedang memecah sesuatu atau menyusunnya. Memecah menjadi bagian sama besar butuh faktor persekutuan terbesar; menunggu dua daur sejajar lagi butuh kelipatan persekutuan terkecil.

Faktor Persekutuan dan Faktor Persekutuan Terbesar mengambil arah pertama: bilangan terbesar yang membagi keduanya. 12 dan 18 berbagi 1, 2, 3, dan 6, jadi FPB-nya 6 — nampan terbesar yang memuat kedua tumpukan tanpa celah.

Kelipatan Persekutuan dan Kelipatan Persekutuan Terkecil mengambil arah lain: bilangan terkecil yang bisa dibagi keduanya. 12 dan 18 pertama bertemu di 36 — kali pertama bus 12 menit dan bus 18 menit berangkat bersama lagi.

Memilih FPB atau KPK ada karena aritmetikanya jarang jadi bagian sulit; memilih yang benar dari soal cerita itulah yang sulit. Faktorisasi prima menjawab keduanya sekaligus: ambil pangkat terendah tiap prima yang sama-sama dimiliki untuk FPB, pangkat tertinggi setiap prima untuk KPK.

FPB dan KPK dari faktorisasi prima

Untuk bilangan yang terlalu besar untuk didaftar faktornya, faktorisasinya yang bekerja. Tulis keduanya sebagai hasil kali prima, lalu baca kedua jawaban dari sepasang baris yang sama.

$84=2^2\times 3\times 7$84 = 2² × 3 × 7 dan $90=2\times 3^2\times 5$90 = 2 × 3² × 5.

• FPB: pangkat terendah tiap prima yang mereka bagi bersama — 2 × 3 = 6. Hanya prima yang muncul di keduanya yang dihitung, itulah sebabnya 5 dan 7 diabaikan.
• KPK: pangkat tertinggi setiap prima yang muncul di salah satunya — $2^2\times 3^2\times 5\times 7=1260$2² × 3² × 5 × 7 = 1260.

Sebuah pemeriksaan berguna jatuh dari sini: kalikan FPB dengan KPK dan kamu mendapat hasil kali kedua bilangan aslinya, selalu. 6 × 1260 = 7560 = 84 × 90. Tiap prima dihitung sekali pada pangkat rendahnya dan sekali pada pangkat tingginya, yang bila digabung tepat senilai kedua bilangan itu.

Apakah bilangan prima pernah habis?

Tidak, dan buktinya cukup pendek untuk disimpan di kepala. Bukti Euklides bahwa Bilangan Prima Tak Pernah Habis bekerja begini: andaikan kamu punya daftar lengkap semua prima. Kalikan semuanya lalu tambah satu. Bilangan baru itu bersisa 1 saat dibagi setiap prima di daftar — padahal setiap bilangan di atas 1 punya faktor prima. Maka ada prima yang tak ada di daftar, dan daftar itu tak pernah lengkap.

Pecahan mana yang desimalnya berhenti?

Yang penyebutnya, dalam bentuk paling sederhana, tersusun hanya dari 2 dan 5. Itulah seluruh aturannya, dan Mengapa Setiap Pecahan Berhenti atau Berulang memberi alasannya: desimal kita dibangun di atas sepuluh, sepuluh adalah 2 × 5, dan hanya penyebut yang membagi suatu pangkat sepuluh yang bisa ditulis ulang sebagai persepuluhan, perseratusan, atau perseribuan. $\frac{1}{8}=0.125$1/8 = 0.125 berhenti; $\frac{1}{3}=0.333\dots$1/3 = 0.333… tidak bisa.

Perulangannya juga terjamin, bukan sekadar mungkin: membagi dengan 7 hanya bisa menyisakan sisa 1 sampai 6, jadi dalam tujuh langkah sebuah sisa pasti terulang, dan begitu sisa terulang, angka-angkanya ikut terulang.

Mengubah Desimal Berulang menjadi Pecahan menjalankan prosesnya mundur dengan satu trik — kalikan dengan pangkat sepuluh untuk meluruskan blok berulang dengan dirinya sendiri, lalu kurangkan. x = 0.272727…, maka 100x = 27.2727…, dan 99x = 27, memberi x = 27/99 = 3/11.

Pengurangan yang sama menuntaskan perdebatan orang soal Mengapa 0.999… Tepat Sama dengan Satu: x = 0.999…, 10x = 9.999…, maka 9x = 9 dan x = 1. Bukan hampir satu. Tak ada bilangan di antaranya, dan dua bilangan tanpa apa pun di antaranya adalah satu bilangan.

Apa itu bilangan irasional?

Bilangan yang sama sekali tak bisa ditulis sebagai pecahan bilangan bulat. Bilangan Rasional dan Irasional menarik garisnya: setiap pecahan punya desimal yang berhenti atau berulang, jadi desimal mana pun yang tidak keduanya berada di luar pecahan sepenuhnya.

Akar Kuadrat Dua Itu Irasional membuktikan bahwa setidaknya satu bilangan seperti itu ada, lagi-lagi dengan kontradiksi. Tulis √2 = a/b dalam bentuk paling sederhana. Menguadratkan memberi a² = 2b², jadi a² genap, jadi a genap. Tulis a = 2c dan persamaan yang sama menjadi b² = 2c², jadi b juga genap. Tetapi pecahan paling sederhana tak boleh kedua bagiannya genap. Andaian itu mustahil, jadi pecahan seperti itu tidak ada.

Dua gagasan yang lebih tua melengkapi cabang ini. Pecahan Mesir dan Algoritma Rakus menengok notasi yang hanya mengizinkan pecahan satuan — $\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 — dan metode rakus yang selalu berhenti, sebuah teorema sungguhan yang bersembunyi dalam keunikan. Pecahan Berlanjut menulis sebuah bilangan sebagai sarang kebalikan dan menghasilkan hampiran pecahan terbaik yang mungkin: dari sanalah $\frac{355}{113}$355/113 berasal, nilai pi yang benar sampai tujuh digit dengan bilangan tiga angka.

Tiga kekeliruan yang layak diberi nama

• Menyebut 1 prima. Ia dikecualikan dengan sengaja: kalau 1 prima, faktorisasi prima berhenti unik, karena kamu bisa menempelkan 1 sebanyak apa pun.
• Menukar kedua daftar. Faktor itu berhingga dan duduk di bawah bilangannya; kelipatan tak berhingga dan duduk di atasnya.
• Membaca 0.999… sebagai "sedikit di bawah 1". Desimal berulang bukan bilangan yang merayap menuju limit; ia limitnya, dituliskan.

Ke mana ini berlanjut

Faktor adalah mesin di bawah aritmetika pecahan — lihat pecahan, kesetaraan, dan pecahan campuran — dan pertanyaan berhenti-atau-berulang menyerahkan tongkat langsung ke panduan desimal. Pangkat, akar, dan bentuk akar melanjutkan benang irasionalnya di ekspresi aljabar, pangkat, dan bentuk akar.

Latih di dalam game

Math Challenge mengajarkan tiap langkah di atas sebagai pelajaran bergambar — saringannya sebagai kisi yang kamu tonton terisi, FPB sebagai daftar faktor bersama, bukti Euklides dibentangkan baris demi baris — dalam katalog 800+ pelajaran. Untuk latihan, topik FPB dan KPK serta topik Bilangan Prima menjalankan pengenalannya sampai cepat.

Latih faktor dan kelipatan gratis →