गुणनखंड, गुणज और संख्या सिद्धांत

भाग देना आते ही एक सवाल फ़ौरन पीछे-पीछे आता है: कौन-से भाग ठीक-ठीक उतरते हैं? इस पन्ने की हर चीज़ उसी सवाल का उत्तर है — गोटियों को बराबर पंक्तियों में जमाते सात साल के बच्चे से लेकर इस उपपत्ति तक कि अभाज्य कभी नहीं चुकते।

यह अंकगणित की सबसे व्यावहारिक शाखा भी है जो व्यावहारिक नहीं दिखती। भिन्न को सरल करना गुणनखंड का सवाल है। साथ छूटी दो बसों का फिर मिलना गुणज का सवाल। कोई दशमलव रुकता है या हमेशा दोहराता है — इसका फ़ैसला पूरी तरह हर के अभाज्य गुणनखंड करते हैं।

गुणनखंड क्या है, और गुणज क्या?

गुणनखंड किसी संख्या को ठीक-ठीक बाँटता है; गुणज वह है जो उससे गुणा करने पर मिलता है। 12 के गुणनखंड हैं 1, 2, 3, 4, 6, 12 — और सूची यहीं ख़त्म। 12 के गुणज हैं 12, 24, 36, 48, … — और वह सूची कभी ख़त्म नहीं होती।

ठीक-ठीक भाग वह जगह है जहाँ “ठीक-ठीक” की गाँठ बँधती है — कोई शेष नहीं, कुछ बचा नहीं — और गुणनखंड तथा गुणज दोनों दिशाओं के नाम रखते हैं। गुणनखंडों की जोड़ियाँ वह पाठ है जो उन्हें ढूँढ़ना भरोसेमंद बनाता है: गुणनखंड ऐसी जोड़ियों में आते हैं जिनका गुणनफल वही संख्या है, तो 12 की खोज का मतलब है 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 जाँचकर रुक जाना — उसके बाद जोड़ियाँ उलटे क्रम में दोहराती हैं।

बिना भाग दिए विभाज्यता

विभाज्यता जाँचें वे परखें इकट्ठा करता है जो “यह जाएगा क्या?” का उत्तर भाग देने से तेज़ देती हैं।

अंक-योग वाली जाँचें ही दिलचस्प हैं, और वे इत्तिफ़ाक़ नहीं हैं: दस की हर घात 9 से भाग देने पर शेष 1 छोड़ती है, तो संख्या और उसके अंक-योग का शेष एक ही होता है। यह तथ्य जाँच से ज़्यादा क़ीमती है — नौ निकालकर अंकगणित जाँचना उसे लंबे गुणा को पल-दो-पल में जाँचने का तरीक़ा बना देता है, और घड़ी के मुख पर मॉड्युलर अंकगणित उसके पीछे का आम विचार है: ऐसा अंकगणित जिसमें सिर्फ़ शेष रखा जाता है — घड़ियाँ, कैलेंडर और चेकसम सब ऐसे ही चलते हैं।

अभाज्य संख्या क्या है?

अभाज्य 1 से बड़ी वह पूर्ण संख्या है जिसके गुणनखंड सिर्फ़ 1 और वह ख़ुद हैं। ये वे संख्याएँ हैं जो तोड़ी नहीं जा सकतीं — इसीलिए ये वह कच्चा माल हैं जिनसे बाक़ी सब बनता है।

एराटोस्थनीज़ की छलनी उन्हें ढूँढ़ने का सबसे पुराना तरीक़ा है, और यह कक्षा का कौतूहल नहीं, सचमुच अच्छी कलनविधि है: संख्याएँ लिख डालिए, 2 रखकर उसके बाद के हर गुणज पर लकीर फेरिए, 3 रखकर उसके गुणजों पर, और चलते रहिए। जो बच जाए वह अभाज्य है — और आपने एक भी संख्या की विभाज्यता नहीं जाँची।

अभाज्य गुणनखंडन इसका फल है। 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या ठीक एक ही तरह से अभाज्यों में टूटती है — $180=2^2\times 3^2\times 5$180 = 2² × 3² × 5 — और यही अनोखी उँगली-छाप अगले खंड को चलाती है।

म.स.प. या ल.स.प. — चाहिए कौन-सा?

पूछिए कि आप कुछ तोड़ रहे हैं या जोड़कर बढ़ा रहे हैं। बराबर टुकड़ों में तोड़ने को चाहिए महत्तम समापवर्तक; दो चक्रों के फिर मिलने की बाट को चाहिए लघुत्तम समापवर्त्य।

समापवर्तक और महत्तम समापवर्तक पहली दिशा लेते हैं: दोनों को बाँटने वाली सबसे बड़ी संख्या। 12 और 18 में 1, 2, 3 और 6 साझा हैं, तो म.स.प. 6 है — वही सबसे बड़ी थाली जिसमें दोनों ढेर बिना कोई जगह छोड़े जम जाते हैं।

समापवर्त्य और लघुत्तम समापवर्त्य दूसरी दिशा: सबसे छोटी संख्या जिसमें दोनों समाते हैं। 12 और 18 पहली बार 36 पर मिलते हैं — 12 मिनट वाली और 18 मिनट वाली बस का पहली बार फिर साथ छूटना।

म.स.प. और ल.स.प. में चुनाव इसलिए है कि मुश्किल हिस्सा अंकगणित कम ही होता है; इबारती सवाल से सही वाला चुनना होता है। अभाज्य गुणनखंडन दोनों का उत्तर एक साथ देता है: म.स.प. के लिए हर साझा अभाज्य की सबसे नीची घात लीजिए, ल.स.प. के लिए हर अभाज्य की सबसे ऊँची।

अभाज्य गुणनखंडन से म.स.प. और ल.स.प.

जिन संख्याओं के गुणनखंड गिनाना भारी हो, उनके लिए गुणनखंडन काम कर देता है। दोनों को अभाज्यों के गुणनफल में लिखिए, फिर उसी जोड़ी पंक्तियों से दोनों उत्तर पढ़ लीजिए।

$84=2^2\times 3\times 7$84 = 2² × 3 × 7 और $90=2\times 3^2\times 5$90 = 2 × 3² × 5.

• म.स.प.: हर साझा अभाज्य की सबसे नीची घात — 2 × 3 = 6। सिर्फ़ दोनों में आने वाले अभाज्य गिनते हैं — 5 और 7 इसीलिए छूट जाते हैं।
• ल.स.प.: दोनों में से किसी में भी आए हर अभाज्य की सबसे ऊँची घात — $2^2\times 3^2\times 5\times 7=1$2² × 3² × 5 × 7 = 1,260।

इसी से एक काम की जाँच गिरती है: म.स.प. को ल.स.प. से गुणा कीजिए और हर बार दोनों मूल संख्याओं का गुणनफल मिलेगा। 6 × 1,260 = 7,560 = 84 × 90. हर अभाज्य एक बार अपनी नीची घात पर गिना जा रहा है और एक बार ऊँची पर — जो मिलकर ठीक दोनों संख्याओं जितना है।

क्या अभाज्य कभी चुकते हैं?

नहीं, और उपपत्ति इतनी छोटी है कि दिमाग़ में समा जाए। यूक्लिड की उपपत्ति कि अभाज्य कभी नहीं चुकते ऐसे चलती है: मान लीजिए आपके पास हर अभाज्य की पूरी सूची है। सबको आपस में गुणा करके एक जोड़िए। नई संख्या सूची के हर अभाज्य से भाग देने पर शेष 1 छोड़ती है — जबकि 1 से बड़ी हर संख्या का कोई न कोई अभाज्य गुणनखंड होता है। तो कोई अभाज्य ऐसा है जो सूची में नहीं है, और सूची कभी पूरी थी ही नहीं।

किन भिन्नों के दशमलव रुक जाते हैं?

उनके, जिनका हर — सरलतम रूप में — सिर्फ़ 2 और 5 से बना हो। पूरा नियम इतना ही है, और हर भिन्न क्यों रुकती या दोहराती है कारण देता है: हमारे दशमलव दस पर बने हैं, दस यानी 2 × 5, और सिर्फ़ वही हर जो दस की किसी घात को बाँटता है, दशांश, शतांश या सहस्रांश में दोबारा लिखा जा सकता है। $\frac{1}{8}=0.125$1/8 = 0.125 रुक जाता है; $\frac{1}{3}=0.333\dots$1/3 = 0.333… नहीं रुक सकता.

दोहराव भी महज़ मुमकिन नहीं, पक्का है: 7 से भाग देने पर शेष सिर्फ़ 1 से 6 तक आ सकते हैं, तो सात क़दमों के भीतर कोई शेष दोहराएगा — और शेष दोहराया कि अंक भी।

आवर्ती दशमलव से भिन्न यही क्रिया एक तरकीब से उलटी चलाता है — दस की घात से गुणा करके दोहराते खंड को ख़ुद उसी की सीध में लाइए, फिर घटा दीजिए। x = 0.272727…, तो 100x = 27.2727…, और 99x = 27, यानी x = 27/99 = 3/11.

वही घटाव उस बहस का फ़ैसला करता है जो लोग 0.999… ठीक एक क्यों है पर करते हैं: x = 0.999…, 10x = 9.999…, तो 9x = 9 और x = 1। लगभग एक नहीं। बीच में कोई संख्या नहीं है, और जिन दो संख्याओं के बीच कुछ नहीं, वे एक ही संख्या हैं।

अपरिमेय संख्या क्या है?

वह संख्या जो पूर्ण संख्याओं की भिन्न के रूप में लिखी ही नहीं जा सकती। परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ लकीर खींचता है: हर भिन्न का दशमलव या तो रुकता है या दोहराता है, तो जो दशमलव दोनों में से कुछ न करे, वह भिन्नों के बाहर है — पूरी तरह।

दो का वर्गमूल अपरिमेय है सिद्ध करता है कि ऐसी कम से कम एक संख्या है — फिर से अंतर्विरोध से। √2 = a/b सरलतम रूप में लिखिए। वर्ग करने पर a² = 2b², तो a² सम है, तो a सम है। a = 2c लिखिए और वही समीकरण b² = 2c² बन जाता है, तो b भी सम। पर सरलतम रूप की भिन्न में दोनों हिस्से सम नहीं हो सकते। मान्यता नामुमकिन है, तो ऐसी कोई भिन्न नहीं।

दो पुराने विचार शाखा को पूरा करते हैं। मिस्री भिन्नें और लालची कलनविधि उस लिखावट को देखता है जिसमें सिर्फ़ इकाई-भिन्नों की इजाज़त थी — $\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 — और उस लालची विधि को जो हमेशा रुक जाती है: कौतूहल में छिपी एक असली प्रमेय। सतत भिन्नें संख्या को व्युत्क्रमों के घोंसले में लिखती हैं और सबसे अच्छे भिन्नात्मक सन्निकटन देती हैं: $\frac{355}{113}$355/113 यहीं से आता है — तीन-तीन अंकों की संख्याओं से π का सात अंकों तक सही मान।

तीन ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

• 1 को अभाज्य कहना। उसे जान-बूझकर बाहर रखा गया है: 1 अभाज्य होता तो अभाज्य गुणनखंडन अनोखा रहना बंद कर देता — जितने चाहें 1 चिपकाए जा सकते।
• दोनों सूचियाँ गड्डमड्ड करना। गुणनखंड परिमित हैं और संख्या के नीचे बैठते हैं; गुणज अनंत हैं और ऊपर।
• 0.999… को “1 से ज़रा नीचे” पढ़ना। आवर्ती दशमलव किसी सीमा की ओर सरकती संख्या नहीं है; वह सीमा ही है, लिखी हुई।

यह आगे कहाँ ले जाता है

गुणनखंड भिन्न अंकगणित के नीचे का इंजन हैं — देखिए भिन्न, तुल्यता और मिश्र भिन्न — और रुकने-दोहराने वाला सवाल सीधे दशमलव की गाइड को थमा दिया जाता है। घातें, मूल और करणी अपरिमेय धागे को बीजीय व्यंजक, घातांक और करणी (अंग्रेज़ी में) में आगे बढ़ाते हैं।

खेल में अभ्यास

Math Challenge ऊपर का हर क़दम सचित्र पाठ की तरह सिखाता है — छलनी एक जाली है जिसे आप भरते देखते हैं, म.स.प. साझा गुणनखंडों की सूची है, यूक्लिड की उपपत्ति पंक्ति-दर-पंक्ति बिछी है — 800+ पाठों की सूची के भीतर। अभ्यास के लिए म.स.प. और ल.स.प. विषय और अभाज्य विषय पहचान को तब तक दौड़ाते हैं जब तक वह झटपट न हो जाए।

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