Fattori, multipli e teoria dei numeri

Appena sai dividere, una domanda arriva subito: quali divisioni escono esatte? Tutto ciò che sta in questa pagina è una risposta a quella domanda, da un bambino di sette anni che ordina gettoni in file uguali fino a una prova che i primi non finiscono mai.

È anche il ramo più pratico dell'aritmetica che non sembra pratico. Semplificare una frazione è una domanda sui fattori. Due autobus che partono insieme e tornano a coincidere è una domanda sui multipli. Se un decimale si ferma o si ripete per sempre lo decidono interamente i fattori primi del denominatore.

Che cos'è un fattore, e che cos'è un multiplo?

Un fattore divide un numero esattamente; un multiplo è ciò che ottieni moltiplicandolo. I fattori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12 e lì la lista finisce. I multipli di 12 sono 12, 24, 36, 48, … e quella lista non finisce mai.

Divisioni esatte è dove "esatto" viene inchiodato — nessun resto, niente che avanza — e Fattori e Multipli danno il nome alle due direzioni. Coppie di fattori è quella che rende affidabile trovarli: i fattori vengono in coppie che moltiplicate danno il numero, quindi cercare quelli di 12 significa controllare 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 e poi fermarsi, perché da lì in poi le coppie si ripetono nell'altro ordine.

Divisibilità senza dividere

Criteri di divisibilità raccoglie i controlli che rispondono a "ci sta?" più in fretta di quanto farebbe la divisione.

I criteri della somma delle cifre sono quelli interessanti, e non sono una coincidenza: ogni potenza di dieci lascia resto 1 quando la dividi per 9, quindi un numero e la somma delle sue cifre lasciano lo stesso resto. Quel fatto vale più del criterio — La prova del nove per controllare i conti lo trasforma in un modo di verificare una moltiplicazione lunga in un paio di secondi, e Aritmetica modulare sul quadrante di un orologio è l'idea generale che ci sta dietro: aritmetica dove si tiene solo il resto, che è come funzionano orologi, calendari e codici di controllo.

Che cos'è un numero primo?

Un primo è un intero sopra 1 i cui unici fattori sono 1 e se stesso. Sono i numeri che non si possono spezzare, il che li rende la materia prima da cui tutto il resto è costruito.

Il crivello di Eratostene è il modo più antico di trovarli, ed è un algoritmo genuinamente buono, non una curiosità da aula: scrivi i numeri, tieni il 2 e cancella ogni suo multiplo successivo, tieni il 3 e cancella i suoi multipli, e continua. Ciò che sopravvive è primo, e non hai mai testato la divisibilità di un singolo numero.

Fattorizzazione in primi è la ricompensa. Ogni intero sopra 1 si spezza in primi in esattamente un modo — $180=2^2\times 3^2\times 5$180 = 2² × 3² × 5 — e quell'impronta unica è ciò che fa funzionare la sezione successiva.

MCD o mcm — quale ti serve?

Chiediti se stai scomponendo qualcosa o costruendolo. Scomporre in pezzi uguali richiede il massimo comune divisore; aspettare che due cicli si allineino richiede il minimo comune multiplo.

Fattori comuni e Il massimo comune divisore prendono la prima direzione: il numero più grande che divide entrambi. 12 e 18 condividono 1, 2, 3 e 6, quindi il MCD è 6 — che è il vassoio più grande in cui impacchettare entrambe le pile senza buchi.

Multipli comuni e Il minimo comune multiplo prendono l'altra: il numero più piccolo in cui entrambi ci stanno. 12 e 18 si incontrano per la prima volta a 36 — la prima volta che un autobus ogni 12 minuti e uno ogni 18 ripartono insieme.

Scegliere fra MCD e mcm esiste perché l'aritmetica è raramente la parte difficile; scegliere quello giusto da un problema a parole lo è. Le fattorizzazioni in primi rispondono a entrambi in una volta: prendi la potenza più bassa di ogni primo condiviso per il MCD, la più alta di ogni primo per il mcm.

MCD e mcm dalle fattorizzazioni in primi

Per numeri troppo grandi per elencarne i fattori, le fattorizzazioni fanno il lavoro. Scrivi entrambi come prodotti di primi, poi leggi le due risposte dalla stessa coppia di righe.

84 = 2² × 3 × 7 e 90 = 2 × 3² × 5.

• MCD: la potenza più bassa di ogni primo che condividono — 2 × 3 = 6. Contano solo i primi che compaiono in entrambi, ed è per questo che 5 e 7 vengono ignorati.
• mcm: la potenza più alta di ogni primo che compare in uno dei due — $2^2\times 3^2\times 5\times 7=1$2² × 3² × 5 × 7 = 1,260.

Da qui cade un controllo utile: moltiplica il MCD per il mcm e ottieni il prodotto dei due numeri originali, ogni volta. 6 × 1,260 = 7,560 = 84 × 90. Ogni primo viene contato una volta alla sua potenza più bassa e una alla più alta, che fra loro è esattamente il valore dei due numeri.

I primi finiscono mai?

No, e la prova è abbastanza corta da tenerla in testa. La prova di Euclide che i primi non finiscono funziona così: supponi di avere una lista completa di tutti i primi. Moltiplicali tutti e aggiungi uno. Il numero nuovo lascia resto 1 quando lo dividi per ogni primo della lista — eppure ogni numero sopra 1 ha qualche fattore primo. Quindi c'è un primo che non sta nella lista, e la lista non è mai stata completa.

Quali frazioni hanno decimali che si fermano?

Quelle il cui denominatore, ridotto ai minimi termini, è costruito solo con dei 2 e dei 5. È tutta qui la regola, e Perché ogni frazione termina o si ripete dà il motivo: i nostri decimali sono costruiti sul dieci, dieci è 2 × 5, e solo un denominatore che divide qualche potenza di dieci può essere riscritto come decimi, centesimi o millesimi. $\frac{1}{8}=0.125$1/8 = 0.125 si ferma; $\frac{1}{3}=0.333\dots$1/3 = 0.333… non può.

La ripetizione è inoltre garantita, non solo probabile: dividere per 7 può lasciare soltanto i resti da 1 a 6, quindi entro sette passi un resto deve ripetersi, e appena un resto si ripete lo fanno anche le cifre.

Trasformare i decimali periodici in frazioni fa girare il processo all'indietro con un trucco — moltiplica per una potenza di dieci per allineare il blocco che si ripete con se stesso, poi sottrai. x = 0.272727…, quindi 100x = 27.2727…, e 99x = 27, che dà x = 27/99 = 3/11.

La stessa sottrazione chiude la discussione che la gente fa su Perché 0.999… è esattamente uno: x = 0.999…, 10x = 9.999…, quindi 9x = 9 e x = 1. Non quasi uno. Non c'è nessun numero in mezzo, e due numeri senza niente in mezzo sono un numero solo.

Che cos'è un numero irrazionale?

Un numero che non può essere scritto come frazione di interi in nessun modo. Numeri razionali e irrazionali traccia la linea: ogni frazione ha un decimale che o si ferma o si ripete, quindi qualunque decimale che non fa nessuna delle due cose sta fuori dalle frazioni del tutto.

La radice quadrata di due è irrazionale dimostra che almeno un numero così esiste, e lo fa di nuovo per assurdo. Scrivi √2 = a/b ai minimi termini. Elevare al quadrato dà a² = 2b², quindi a² è pari, quindi a è pari. Scrivi a = 2c e la stessa equazione diventa b² = 2c², quindi anche b è pari. Ma una frazione ai minimi termini non può avere entrambe le parti pari. L'assunzione è impossibile, quindi una tale frazione non esiste.

Due idee più antiche completano il ramo. Frazioni egizie e l'algoritmo goloso guarda una notazione che permetteva solo frazioni unitarie — $\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 — e il metodo goloso che termina sempre, che è un vero teorema nascosto in una curiosità. Frazioni continue scrive un numero come un nido di reciproci e produce le migliori approssimazioni frazionarie possibili: è da lì che viene $\frac{355}{113}$355/113, un valore di pi greco corretto fino a sette cifre con numeri di tre.

I tre errori che vale la pena nominare

• Chiamare primo l'1. È escluso di proposito: se 1 fosse primo, la fattorizzazione in primi smetterebbe di essere unica, perché potresti incollarci quanti 1 vuoi.
• Confondere le due liste. I fattori sono finiti e stanno sotto il numero; i multipli sono infiniti e stanno sopra.
• Leggere 0.999… come "appena sotto 1". Un decimale periodico non è un numero che striscia verso un limite; è il limite, scritto.

Dove porta tutto questo

I fattori sono il motore sotto l'aritmetica delle frazioni — vedi frazioni, equivalenza e numeri misti — e la domanda del fermarsi-o-ripetersi passa dritta alla guida ai decimali. Potenze, radici e radicali continuano il filo irrazionale in espressioni algebriche, esponenti e radicali (in inglese).

Allenalo nel gioco

Math Challenge insegna ogni passo qui sopra come una lezione illustrata — il crivello come una griglia che guardi riempirsi, il MCD come una lista di fattori condivisi, la prova di Euclide stesa riga per riga — dentro un catalogo di oltre 800 lezioni. Per esercitarti, il tema MCD e mcm e il tema Primi fanno girare il riconoscimento finché non è rapido.

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