Factores, múltiplos y teoría de números
En cuanto sabes dividir, una pregunta llega de inmediato: ¿qué divisiones salen exactas? Todo lo que hay en esta página es una respuesta a esa pregunta, desde un niño de siete años ordenando fichas en filas iguales hasta una prueba de que los primos no se acaban nunca.
Es además la rama más práctica de la aritmética que no parece práctica. Simplificar una fracción es una pregunta de factores. Dos autobuses que salen juntos y vuelven a coincidir es una pregunta de múltiplos. Que un decimal se pare o se repita para siempre lo deciden por completo los factores primos del denominador.
¿Qué es un factor, y qué es un múltiplo?
Un factor divide a un número exactamente; un múltiplo es lo que obtienes al multiplicarlo. Los factores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12 y ahí acaba la lista. Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, … y esa lista no acaba nunca.
Dividir exacto es donde "exacto" queda clavado — sin resto, sin nada que sobre — y Factores y Múltiplos nombran las dos direcciones. Parejas de factores es la que hace fiable encontrarlos: los factores vienen en parejas que multiplicadas dan el número, así que buscar los de 12 es comprobar 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 y parar, porque a partir de ahí las parejas se repiten en el otro orden.
Divisibilidad sin dividir
Criterios de divisibilidad reúne las comprobaciones que responden "¿cabe?" más rápido de lo que tardaría la división.
| Divisor | Criterio | Ejemplo |
|---|---|---|
| 2 | la última cifra es par | 4,718 ✓ |
| 3 | las cifras suman un múltiplo de 3 | 4, ✓ |
| 4 | las dos últimas cifras dividen entre 4 | 4, ✓ |
| 5 | acaba en 0 o en 5 | 4,715 ✓ |
| 9 | las cifras suman un múltiplo de 9 | 4, ✓ |
Los criterios de la suma de cifras son los interesantes, y no son casualidad: cada potencia de diez deja resto 1 al dividirla entre 9, así que un número y la suma de sus cifras dejan el mismo resto. Ese hecho vale más que el criterio — La prueba del nueve para comprobar cuentas lo convierte en una forma de verificar una multiplicación larga en un par de segundos, y Aritmética modular en la esfera de un reloj es la idea general que hay detrás: aritmética donde solo se guarda el resto, que es como funcionan los relojes, los calendarios y las sumas de verificación.
¿Qué es un número primo?
Un primo es un entero mayor que 1 cuyos únicos factores son 1 y él mismo. Son los números que no se pueden descomponer, y eso los convierte en la materia prima con la que se construye todo lo demás.
La criba de Eratóstenes es la manera más antigua de encontrarlos, y es un algoritmo genuinamente bueno y no una curiosidad de aula: escribe los números, quédate el 2 y tacha cada múltiplo posterior de 2, quédate el 3 y tacha sus múltiplos, y sigue. Lo que sobrevive es primo, y no has probado la divisibilidad de un solo número.
Factorización en primos es la recompensa. Todo entero mayor que 1 se rompe en primos de exactamente una manera — — y esa huella única es lo que hace funcionar la sección siguiente.
¿MCD o mcm — cuál necesitas?
Pregúntate si estás descomponiendo algo o construyéndolo. Descomponer en trozos iguales necesita el máximo común divisor; esperar a que dos ciclos coincidan necesita el mínimo común múltiplo.
Factores comunes y El máximo común divisor toman la primera dirección: el número más grande que divide a los dos. 12 y 18 comparten 1, 2, 3 y 6, así que el MCD es 6 — que es la bandeja más grande en la que caben los dos montones sin hueco.
Múltiplos comunes y El mínimo común múltiplo toman la otra: el número más pequeño en el que caben los dos. 12 y 18 se encuentran por primera vez en 36 — la primera vez que un autobús de cada 12 minutos y otro de cada 18 vuelven a salir juntos.
Elegir entre MCD y mcm existe porque la aritmética rara vez es la parte difícil; escoger el correcto en un problema con palabras sí lo es. Las factorizaciones en primos responden a los dos a la vez: toma la potencia más baja de cada primo compartido para el MCD, la más alta de cada primo para el mcm.
MCD y mcm desde las factorizaciones en primos
Para números demasiado grandes para listar sus factores, las factorizaciones hacen el trabajo. Escribe los dos como productos de primos, y lee las dos respuestas del mismo par de filas.
84 = 2² × 3 × 7 y 90 = 2 × 3² × 5.
- MCD: la potencia más baja de cada primo que comparten — 2 × 3 = 6. Solo cuentan los primos que aparecen en los dos, y por eso el 5 y el 7 se ignoran.
- mcm: la potencia más alta de cada primo que aparece en cualquiera — ,260.
De aquí cae una comprobación útil: multiplica el MCD por el mcm y obtienes el producto de los dos números originales, siempre. 6 × 1,260 = 7,560 = 84 × 90. Cada primo se está contando una vez a su potencia baja y una a la alta, que entre las dos es exactamente lo que valen los dos números.
¿Se acaban alguna vez los primos?
No, y la prueba es lo bastante corta para sostenerla en la cabeza. La prueba de Euclides de que los primos no se acaban funciona así: supón que tuvieras una lista completa de todos los primos. Multiplícalos todos y suma uno. El número nuevo deja resto 1 al dividirlo entre cada primo de la lista — y sin embargo todo número mayor que 1 tiene algún factor primo. Así que hay un primo que no está en la lista, y la lista nunca estuvo completa.
¿Qué fracciones tienen decimales que se paran?
Las que tienen un denominador, en su forma irreducible, construido solo con doses y cincos. Esa es toda la regla, y Por qué toda fracción termina o se repite da el motivo: nuestros decimales están construidos sobre el diez, diez es 2 × 5, y solo un denominador que divida a alguna potencia de diez puede reescribirse como décimas, centésimas o milésimas. se para; no puede.
La repetición está además garantizada y no es solo probable: dividir entre 7 solo puede dejar los restos del 1 al 6, así que en siete pasos algún resto tiene que repetirse, y en cuanto un resto se repite las cifras también.
Convertir decimales periódicos en fracciones hace el proceso al revés con un truco — multiplica por una potencia de diez para alinear el bloque que se repite consigo mismo, y resta. x = 0.272727…, así que 100x = 27.2727…, y 99x = 27, que da x = 27/99 = 3/11.
La misma resta zanja la discusión que la gente tiene sobre Por qué 0.999… es exactamente uno: x = 0.999…, 10x = 9.999…, así que 9x = 9 y x = 1. No casi uno. No hay ningún número en medio, y dos números sin nada en medio son un solo número.
¿Qué es un número irracional?
Un número que no puede escribirse como fracción de enteros de ninguna manera. Números racionales e irracionales traza la línea: toda fracción tiene un decimal que o se para o se repite, así que cualquier decimal que no haga ninguna de las dos cosas queda fuera de las fracciones por completo.
La raíz cuadrada de dos es irracional demuestra que al menos un número así existe, y lo hace otra vez por contradicción. Escribe √2 = a/b en forma irreducible. Elevar al cuadrado da a² = 2b², así que a² es par, así que a es par. Escribe a = 2c y la misma ecuación se convierte en b² = 2c², así que b también es par. Pero una fracción irreducible no puede tener las dos partes pares. La suposición es imposible, así que esa fracción no existe.
Dos ideas más antiguas redondean la rama. Fracciones egipcias y el algoritmo voraz mira una notación que solo permitía fracciones unitarias — — y el método voraz que siempre termina, que es un teorema de verdad escondido en una curiosidad. Fracciones continuas escribe un número como un nido de recíprocos y produce las mejores aproximaciones fraccionarias posibles: de ahí sale , un valor de pi correcto hasta siete cifras con números de tres.
Los tres errores que conviene nombrar
- Llamar primo al 1. Se excluye a propósito: si el 1 fuera primo, la factorización en primos dejaría de ser única, porque podrías pegarle cualquier número de unos.
- Confundir las dos listas. Los factores son finitos y están por debajo del número; los múltiplos son infinitos y están por encima.
- Leer 0.999… como "justo por debajo de 1". Un decimal periódico no es un número arrastrándose hacia un límite; es el límite, escrito.
Adónde lleva esto
Los factores son el motor bajo la aritmética de fracciones — mira fracciones, equivalencia y números mixtos — y la pregunta de terminar-o-repetirse entrega directamente a la guía de decimales. Las potencias, raíces y radicales continúan el hilo irracional en expresiones algebraicas, índices y radicales (en inglés).
Practícalo en el juego
Math Challenge enseña cada paso de arriba como una lección ilustrada — la criba como una cuadrícula que ves rellenarse, el MCD como una lista de factores compartidos, la prueba de Euclides desplegada línea a línea — dentro de un catálogo de más de 800 lecciones. Para entrenar, el tema de MCD y mcm y el tema de Primos hacen correr el reconocimiento hasta que es rápido.
Tu turno
Tres para practicar: toca tu respuesta.
El máximo común divisor de 12 y 18
¿Cuál de estos es primo?
El mínimo común múltiplo de 4 y 6