方程的图象与坐标几何

坐标几何是一个想法的反复使用：曲线就是满足一个方程的点的集合。形状一旦有了方程，关于形状的问题就变成了关于代数的问题，而代数能查账。

这就是笛卡尔提出的那笔交易的全部。距离变成勾股定理，“这条直线是切线”变成“判别式等于零”，一个需要巧妙作图的几何论证，变成一笔谁都能做的计算。

坐标究竟干什么？

它给平面上每个点一个独一无二的地址，让形状不用画出来就能被描述。坐标平面把这套搭起来：两条互相垂直的数轴，一对 (x, y)，先横着走再往上走就到。

顺序要紧，而且人人都栽过一次。(3, 5) 是横着 3、往上 5；(5, 3) 完全是另一个点。先横后纵，正好和字母表把 x 排在 y 前面一个顺序。

斜率是什么，负斜率为什么往下走？

斜率是 x 每走 1，y 变化多少，所以负斜率意味着 x 涨的时候 y 在掉 —— 直线从左到右往下走。由两点求斜率把它算成 y 值的差除以 x 值的差。

从 (1, 4) 到 (3, 10)：纵向差 6，横向差 2，斜率是 3。 从 (0, 7) 到 (2, 1)：纵向差 −6，横向差 2，斜率是 −3。

y = mx + c 是什么意思？

m 是斜率，c 是直线穿过 y 轴的地方，这两个数合起来把直线钉得死死的。y = mx + c 是你想画一条直线、或想把两条直线一眼比出来时该伸手拿的形式。

它不是唯一的形式，别的形式也不是摆设。把直线写成 Ax + By = C 接住了 y = mx + c 接不住的那一种 —— 竖直线，它的斜率没有定义 —— 联立方程也天然长成这个样子。点斜式是你知道一个斜率和一个点时最快的路，而几乎每道切线题递给你的正是这两样。

这三种形式是同一条直线换了三身衣服，坐标几何这节课在更难的活开始之前把它们缝到一起。

怎么求过两点的直线方程？

1. 用两个点求斜率。
2. 把这个斜率和随便哪个点放进 y − y₁ = m(x − x₁)。
3. 整理成题目要的那种形式。

过 (1, 4) 和 (3, 10)：斜率 3，所以 y − 4 = 3(x − 1)，得 y = 3x + 1。过两点的直线方程把这一路做完，包括每次都值得做的那个验算 —— 把另一个点代进去，确认它坐得进去。

两条直线什么时候平行、什么时候垂直？

平行线斜率相等；垂直线的斜率乘起来是 −1。平行线与垂直线的斜率很短，干的活却比这一页上任何一节课都多，因为坐标几何的一半都归结成这两条检验之一。

中点与距离

中点就是两个点的平均，一个坐标一个坐标地取。线段的中点把理由摆明：横向的中点是 x 值的平均，纵向也一样。

距离是把直角三角形藏起来的勾股定理。两点间的距离把它搭出来：横向的缺口和纵向的缺口是两条直角边，直线距离是斜边。从 (1, 2) 到 (4, 6)：横 3，纵 4，距离是 5。

标准曲线长什么样？

四种形状盖住你会遇到的大半，而且每种都能在描出一个点之前就从方程认出来。二次函数的图象引入抛物线 —— 对称，一个转折点，x² 系数为正时开口向上 —— 二次与三次曲线再添上三次曲线，它可以扭两下，而且永远从平面的一角跑向对角。

反比例函数的图象是第一条中间破了个洞的曲线：y = 1/x 在 x = 0 没有值，贴着两条轴走却永远碰不上。这是读者第一次遇见渐近线，它会在分式函数（英文）里大举回归。

绝对值曲线看着古怪，其实不怪。y = |x| 的图象是个 V，因为绝对值放过正的输入、把负的往上翻。给整个式子取绝对值把这面镜子照到任何曲线上 —— 原来在轴下面的都翻上来 —— 而把 x 换成 |x| 干的是截然不同的事：把图象的左半边扔掉，换成右半边的镜像。两个长得像的记号，两幅不相干的画。

怎么找两条图象的交点？

让两个方程相等再解 —— 交点是同时满足两个方程的一对 (x, y)，这正是联立方程的意思。联立方程管代数，图象的交点管解读：代数解出几个解，曲线就相交几次。

圆的方程是什么？

半径 r、圆心 (a, b) 的圆是 (x − a)² + (y − b)² = r²，这是穿上方程外衣的勾股定理。圆的方程从距离公式把它推出来，一旦看出左边是一个距离的平方，这个形式就不用背了。

真实的题目很少把它按这个样子递过来。展开之后，它长成 x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 这样，想把圆心和半径找回来，就要对 x 的项和 y 的项分别配方 —— 解二次方程用的同一门手艺，派了个几何用场。

有两个追问常来。圆上一点处的切线只用一件事 —— 切线在切点处垂直于半径 —— 所以切线的斜率是半径斜率的负倒数，一点微积分都不用。直线与圆相交把直线代进圆、读掉出来的那个二次方程的判别式：两个根是弦，一个根是切线，没有根是错过。

椭圆与双曲线

椭圆是一个朝两个方向被拉伸了不同倍数的圆，它的方程把两个拉伸都记了下来。椭圆的方程给出 x²/a² + y²/b² = 1，a 和 b 是从中心沿两条轴到曲线的距离；让 a = b，圆就分毫不差地回来了。

把那个加号换成减号，曲线断成两截。双曲线的方程讲清为什么：x²/a² − y²/b² = 1 在 x 小的时候根本没有解，平面正中一整条带子是空的，剩下的两支朝一对直线渐近线跑开。这和反比例图象逃向无穷远是同一种行为，摆在一个更对称的舞台上。

描述一段旅程的图

在路程–时间图上，斜率是速度，因为路程的变化除以时间的变化正是速度的意思。路程–时间图也倒着读它们：平的一段是停下，更陡的线是更快的一程。

速度–时间图换掉了各个特征的含义。这里斜率是加速度，而下方的面积是走过的路程 —— 速度 × 时间这块长方形就是一段路程，曲线下任何形状都一样。

这一切的一般形态是区间上的平均变化率：任何曲线上连接两点的那条直线的斜率，它说的是这个量在两点之间平均变得多快。把区间缩到几乎没有，你手里就是微分学的中心想法 —— 这条线索从那里接着走。

值得点名的错误

• 把截距读成斜率。y = 4 + 2x 里斜率是 2，不是 4。先整理成 y = mx + c，歧义就没了。
• 两个坐标按相反的方向相减。两个差必须朝同一个方向跑，不然斜率的符号是错的。
• 把右边那个数当半径。(x − 2)² + (y + 1)² = 25 里半径是 5，不是 25。
• 直接从括号上读圆心的符号。(x − 2)² 意味着圆心在 x = +2。

在应用里正经学

Math Challenge 把这一切教成配图带试一试的课程，装在一套从数数到微积分的 800 多节课程目录里。从这里出发，两个自然的邻居是二次方程与多项式 —— 这一页上每条抛物线背后的代数 —— 和函数与分式函数（英文），它把变换的想法带得更远。

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