Frazioni equivalenti e numeri misti
Questa pagina segue le frazioni come le insegna l'app: come una scala, dal tagliare qualcosa in parti uguali fino al dividere una frazione per un'altra. Se sei arrivato cercando la risposta diretta a come sommo le frazioni, la guida alle frazioni risponde esattamente a quello e a nient'altro; questa è per la progressione intera, e per i pioli che vengono saltati — l'equivalenza, i numeri misti e le frazioni di quantità.
Un'idea tiene insieme tutto. Il numero in basso è un'unità di misura, non una quantità. Quinti e ottavi sono pezzi di misure diverse, e quasi ogni regola qui sotto riguarda il rendere i pezzi della stessa misura prima di contarli, o il ritagliarli di proposito.
Dove cominciano le frazioni
Cominciano con la parola uguali. Parti uguali non parla d'altro: tre pezzi su quattro sono tre quarti solo se i quattro pezzi hanno la stessa misura, e una figura tagliata in quattro pezzi disuguali non sta mostrando quarti per niente. Quella distinzione è ciò che rende le frazioni aritmetica invece che descrizione.
Metà, quarti, terzi dà il nome ai primi, e Sopra e sotto è dove arriva la notazione: il sotto dice in quanti pezzi è stato tagliato l'intero, il sopra dice quanti ne hai. La frazione di un gruppo fa poi il salto che frega la gente — una frazione può descrivere un gruppo di oggetti, non solo una figura tagliata. La metà di 12 gettoni è 6, e l'"intero" sono i dodici.
Che cosa rende equivalenti due frazioni?
Moltiplicare sopra e sotto per lo stesso numero non cambia il valore. Frazioni equivalenti mostra il perché con un'immagine: ogni pezzo viene tagliato nello stesso numero di pezzi più piccoli e ne prendi proporzionalmente di più, quindi la quantità nella tua mano resta intatta.
2/3 = 8/12 (entrambi × 4). .
Falla girare all'indietro e ottieni la Forma più semplice — continua a dividere finché niente divide entrambi, che è lo stesso che dividere una volta per il massimo comune divisore. . Trovare in fretta quel divisore è un lavoro per la cassetta degli attrezzi di fattori e multipli (in inglese).
Un denominatore comune è l'equivalenza usata nell'altra direzione: invece di rendere una frazione più semplice, fai coincidere due frazioni, così i loro conteggi possono finalmente essere confrontati o sommati.
Come si confrontano due frazioni?
Rendi i pezzi della stessa misura, poi confronta i conteggi. Le tre scorciatoie qui sotto sono tutte quel metodo con un passo saltato.
Stesso sotto. Lo stesso numero in basso: 5/8 > 3/8, perché cinque ottavi sono più ottavi di tre.
Stesso sopra. Lo stesso numero in alto: 3/5 > 3/8. Tre pezzi in entrambi i casi, ma il quinto è il pezzo più grande. È il confronto che sembra al contrario e non lo è — più tagli fanno pezzi più piccoli.
Né l'uno né l'altro. Più di un mezzo è il primo controllo più rapido: raddoppia il sopra e guarda come si posiziona rispetto al sotto. — il doppio di 7 è 14, sotto 16, quindi è meno di un mezzo. Se una frazione sta sopra un mezzo e l'altra sotto, hai finito.
Ordinare le frazioni ne mette in fila tre o più, che è dove il denominatore comune smette di essere facoltativo: , , 7/10 → quindicesimi e decimi non si mettono d'accordo, quindi usa i trentesimi → 20/30, , 21/30 → 3/5 < 2/3 < 7/10.
Sommare e sottrarre
Coi denominatori uguali si somma contando. Sommare frazioni con lo stesso denominatore: , per lo stesso motivo per cui due metri più tre metri fanno cinque metri. L'unità non viene sommata; è ciò che rende sommabili i conteggi.
Sommare frazioni con denominatori diversi è la stessa somma dopo un passo preparatorio. 1/3 + 1/4 → dodicesimi → 4/12 + 3/12 = 7/12. Moltiplicare i due denominatori produce sempre un denominatore comune che funziona; il minimo comune multiplo lascia solo meno da semplificare dopo.
Sottrarre le frazioni è la mossa identica: .
Frazioni improprie e numeri misti
Una frazione impropria ha il sopra grande almeno quanto il sotto, il che significa semplicemente che vale uno o più. Frazioni improprie chiarisce che non c'è niente di sbagliato in — sette quarti esistono, sono solo più di un intero.
Numeri misti è l'altro modo di scrivere la stessa quantità: , un intero e tre quarti.
Numeri misti e frazioni improprie dà entrambe le conversioni, ed entrambe sono solo divisione e moltiplicazione.
- Da impropria a misto: dividi sopra per sotto; il quoziente è la parte intera, il resto rimane sopra. con resto .
- Da misto a impropria: intero × sotto, più il sopra. .
Sommare e sottrarre numeri misti
Tratta gli interi e le parti separatamente, poi metti in ordine. , e 1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, quindi .
La sottrazione è dove va storto, perché la parte frazionaria a volte non basta. Il rimedio è il prestito, esattamente come nella sottrazione in colonna: prendi un intero e trasformalo in pezzi. 3 1/5 − 1 3/5 → prendi in prestito un intero come cinque quinti → 2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5. Convertire prima entrambi i numeri in improprie — — evita del tutto il prestito ed è la via più sicura quando i numeri sono scomodi.
Come si trova la frazione di una quantità?
Dividi per il sotto, poi moltiplica per il sopra. La frazione di una quantità la lavora per intero: di .
Dividere prima tiene piccoli i numeri, il che conta quando lo fai a mente. L'ordine è reversibile quando aiuta — 3 × 60 = 180, poi ÷ 4 = 45 — e che la stessa risposta arrivi per entrambe le strade merita attenzione, perché è il motivo per cui la regola del "di" e quella della moltiplicazione sono la stessa regola.
Moltiplicare e dividere le frazioni
Queste sono quelle per cui la gente si prepara al peggio, e sono le facili — nessuna delle due ha bisogno del denominatore comune.
Moltiplicare le frazioni: dritto per dritto. .
Dividere per una frazione si legge meglio come una domanda sul starci. chiede quanti sesti ci stanno in un mezzo, e la risposta è tre — visibile prima di qualunque capovolgimento. Il capovolgimento è una scorciatoia per quella domanda: .
Dividere una frazione per una frazione gestisce il caso generale, dove ciò che ci sta non è un numero intero. . Due quinti ci sta in tre quarti non proprio due volte, e la frazione è la parte che ci sta.
I quattro errori che vale la pena nominare
- Sommare i denominatori. è 1, non . Il denominatore nomina l'unità; non si accumula.
- Moltiplicare un numero misto così com'è. non è . Converti prima in , poi moltiplica.
- Semplificare una sola riga. Ciò che fai al sopra lo fai al sotto, o il valore si sposta.
- Cercare il denominatore comune prima di moltiplicare. Non è sbagliato, è lavoro sprecato — la moltiplicazione non ha bisogno di unità che combacino.
Dove porta tutto questo
Una frazione col sotto che è dieci o cento è un decimale, e una frazione col sotto che è cento è una percentuale — la stessa quantità in tre notazioni, proseguita in decimali, percentuali e interesse (in inglese). Confrontare due quantità invece di una parte con un tutto è l'argomento di rapporto, tassi e proporzione (in inglese). E se il decimale di una frazione si ferma o si ripete per sempre lo decidono i fattori primi del suo denominatore, nella teoria dei numeri (in inglese).
Allenalo nel gioco
Math Challenge insegna ogni piolo qui sopra come una lezione illustrata — l'immagine dell'equivalenza, la conversione del numero misto, l'argomento dello starci per la divisione — dentro un catalogo di oltre 800 lezioni lungo l'intera scala. Quando una domanda di prova va male, l'app rispiega il passaggio da cui veniva quella domanda, non uno vicino.
Il tema Frazioni allena sommare e sottrarre, cominciando con denominatori amichevoli e allargandosi via via che rispondi bene.
Tocca a te
Tre da provare: tocca la tua risposta.
Quale equivale a 3/4?
7/2 come numero misto
2 2/5 come frazione impropria