암산 요령

빠른 암산은 "수학 머리"의 이야기가 아닙니다. 어려워 보이는 계산을, 계산을 시작하기도 전에 쉬운 계산으로 바꿔 놓는 한 줌의 지름길 이야기입니다. 생각의 전부가 그것입니다. 더 빨리 계산하는 것이 아니라 덜 계산하는 것입니다.

아래의 모든 요령에는 풀이 예제와 그것이 참인 이유가 붙어 있습니다. 이유를 익히면 요령은 저절로 기억되고 — 더 중요하게는 — 언제 통하고 언제 통하지 않는지 알게 됩니다.

머릿속으로 수를 빨리 더하는 법

오른쪽부터가 아니라 왼쪽부터

종이 위에서는 일의 자리부터 더합니다. 머릿속에서는 반대로 — 가장 큰 부분부터 시작합니다.

386 + 245 → 300 + 200 = 500 → 80 + 40 = 120 이라 620 → 6 + 5 = 11 → 631.

세로셈이 오른쪽부터 가는 것은 받아올림의 갈 곳을 만들기 위해서입니다. 하지만 머릿속에는 길 잃을 종이가 없고, 큰 것부터 시작하면 처음 한 순간부터 "대략 600"이라는 어림 답을 쥐고 있게 됩니다. 도중에 방해를 받아도 답의 대부분은 손안에 있습니다.

반올림한 다음 바로잡기

한 수를 다루기 좋은 둥근 수까지 밀어 올리고, 더 얹은 만큼 되돌려 받습니다.

67 + 28 → 67 + 30 = 97, 그다음 −2 → 95. 154 + 99 → 154 + 100 = 254, 그다음 −1 → 253.

30을 더하는 것은 28을 더하기보다 정말로 쉽고, 바로잡기는 작은 한 걸음입니다. 8이나 9로 끝나는 수는 올릴 만하고, 1이나 2로 끝나는 수는 내릴 만합니다.

먼저 10을 만들기

수가 작을 때는 10이 되는 짝을 찾아 한 덩어리로 더합니다.

7 + 38 + 3 → 7과 3이 10을 만든다 → 48.

덧셈은 순서를 바꿔도 답이 같으므로, 다루기 좋은 순서를 골라도 됩니다. 아이들이 처음 만나는 진짜 전략이고, 어른들이 여전히 가장 많이 쓰는 전략이기도 합니다.

머릿속 곱셈을 빠르게 하는 법

11 곱하기

두 자리 수라면 두 숫자를 더해서 가운데에 넣습니다.

36 × 11 → 3 (3+6) 6 → 396. 72 × 11 → 7 (7+2) 2 → 792. 가운데 합이 10 이상이면 1을 올립니다: 85 × 11 → 8 (13) 5 → 935.

×11 은 ×10 더하기 ×1 입니다. 36 × 10 = 360 을 36 위에 쓰고 더하면 숫자들이 어긋나게 줄을 서서 십의 자리가 3 + 6 이 됩니다. "가운데에 넣기" 규칙은 그 덧셈을 미리 해 둔 것입니다.

×11 게임에서 연습하기 →

5 곱하기

절반으로 만든 다음 10배 합니다.

5 × 48 → 48의 절반은 24 → 240. 홀수라면 10배부터 하고 절반으로: 5 × 37 → 370 → 185.

5는 10의 절반이고, 10은 십진법에서 가장 곱하기 쉬운 수입니다. 어려운 곱셈을 절반 만들기와 자릿수 한 칸 옮기기로 맞바꾸는 것입니다.

×5 게임에서 연습하기 →

두 배와 절반

한쪽을 두 배로, 다른 쪽을 절반으로 만들어 더 쉬운 곱으로 갑니다.

14 × 5 → 7 × 10 = 70. 16 × 25 → 8 × 50 = 4 × 100 = 400.

한쪽을 두 배로 하고 다른 쪽을 절반으로 하면 곱은 그대로입니다. 2를 곱하고 2로 나눴기 때문입니다. 마음에 드는 수가 나올 때까지 되풀이할 수 있습니다.

5로 끝나는 수의 제곱

십의 자리 숫자에 그다음 수를 곱하고, 끝에 25를 붙입니다.

65² → 6 × 7 = 42 → 4225. 85² → 8 × 9 = 72 → 7225.

5로 끝나는 수는 (10n + 5) 입니다. 제곱하면 100n² + 100n + 25, 곧 100 × n(n+1) + 25 — "n에 다음 수를 곱하고 25를 붙인다"는 규칙 그대로입니다.

5로 끝나는 수의 제곱 연습하기 →

9단은 손가락으로

열 손가락을 펴고, 곱하려는 수의 손가락을 접습니다. 접은 손가락 왼쪽이 십의 자리, 오른쪽이 일의 자리입니다.

9 × 7 → 일곱 번째 손가락을 접는다 → 왼쪽에 6, 오른쪽에 3 → 63.

×9 는 ×10 에서 한 몫을 뺀 것이라, 답의 두 숫자를 더하면 늘 9가 되고 십의 자리는 곱한 수보다 늘 1 작습니다. 손가락은 그것을 읽어 내는 도구일 뿐입니다.

머릿속으로 빼고 나누는 법

빼는 대신 세어 올라가기

사이가 크게 벌어진 뺄셈은 작은 수에서부터 세어 올라갑니다.

1000 − 674 → 674에서 700까지 26, 1000까지 300 → 326.

뺄셈은 두 수 사이의 거리이고, 거리는 어느 끝에서든 잴 수 있습니다. 세어 올라가면 0을 건너는 받아내림 — 실수가 가장 많이 나는 곳 — 을 통째로 피합니다.

1000에서 빼기 게임에서 연습하기 → — 그곳 수업은 다른 길(각 자리를 9에서 빼고 마지막만 10에서 빼기)로 같은 답에 닿습니다. 두 번째 방법으로 갖고 있을 만합니다.

둘 다 밀기

두 수에 같은 양을 더해도 사이는 그대로입니다 — 그러니 더 다루기 좋은 곳까지 밀어 둡니다.

83 − 47 → 둘 다 3씩 위로 → 86 − 50 = 36.

두 수가 함께 움직이면 사이의 거리는 움직이지 않습니다. 작은 쪽이 둥근 수가 될 때까지 밀면 거의 모든 뺄셈이 쉬운 뺄셈으로 바뀝니다.

절반을 되풀이해서 나누기

4로 나누려면 절반을 두 번. 8로 나누려면 절반을 세 번.

232 ÷ 4 → 116 → 58. 96 ÷ 8 → 48 → 24 → 12.

머릿속으로 백분율을 구하는 법

백분율 뒤집기

y의 x% 는 언제나 x의 y% 와 같습니다 — 그리고 대개 한쪽이 훨씬 쉽습니다.

25의 4% 는 까다롭다. 뒤집어서 4의 25% = 1. 50의 18% → 18의 50% = 9.

양쪽 다 같은 곱셈 x × y / 100 을 읽는 순서만 바꾼 것입니다. 뒤집기는 공짜이고, 반대쪽이 더 곱게 떨어지는지 확인하는 데는 아무 밑천도 들지 않습니다.

모든 것을 10%에서 쌓아 올리기

10%는 소수점 한 칸입니다. 다른 모든 백분율은 거기서 쌓아 올립니다.

원하는 것하는 일예 (60의)
10%점을 한 칸 옮긴다6
5%10%의 절반3
20%10%의 두 배12
15%10% + 5%9
1%점을 두 칸 옮긴다0.6

43의 15%라면: 10%는 4.30, 그 절반이 2.15, 합쳐서 6.45.

이 둘이면 일상의 백분율 대부분이 풀립니다. 백분율 증감, 할인, 세일 가격에서 거꾸로 계산하기에는 따로 가이드가 있습니다: 백분율 구하는 법.

정말로 빨라지려면

빠른 사람과 그렇지 않은 사람을 가르는 것은 세 가지이고, 그중 어느 것도 재능이 아닙니다.

게임으로 연습하기

Math Challenge에는 그림이 붙은 매직 트릭 수업이 36개 있습니다. 하나하나가 지름길 뒤의 생각 — 지금까지 읽어 온 "왜" 상자와 같은 것 — 을 설명한 다음 곧바로 연습으로 데려가고, 난이도는 진행에 맞춰 달라집니다.

그 밖에 35개의 연산 주제와, 계정이 필요 없는 무료 매일 챌린지도 있습니다.

이제 당신 차례

세 문제 — 정답이라고 생각하는 것을 누르세요.

45 × 11, 암산으로

35²

98 × 102

Math Challenge 무료로 플레이 →