什麼時候該用中位數而不是平均數？

只要資料裡有極端值或者拖著長尾，就該用中位數，因為平均數會被離群值拉著走，中位數不會。房價和收入是最典型的例子：少數幾個特別大的數值，把平均數拉到大多數人的實際水準之上，而中位數說的是排在中間的那戶人家。分布大致對稱、或者你需要求總數的時候，才用平均數，因為平均數乘以個數能還原出總和。

標準差到底量的是什麼？

它量的是一個值到平均數的典型距離。先求出每個值到平均數的偏差，把它們平方，讓正負號不能互相抵消，再求平方的平均數，最後開平方根，回到原來的單位。標準差是 4 公分，意思是各個值平均離平均數大約 4 公分。它和資料的單位相同，這正是它被引用而不是變異數被引用的原因。

四分位距要怎麼求？

把資料排序，求出中位數，再求下半部分的中位數和上半部分的中位數。這兩個就是下四分位數和上四分位數，四分位距等於上四分位數減去下四分位數。它描述的是資料中間一半的散布程度，完全不管兩端的極端值，這正是它總是和中位數搭配、而不是和平均數搭配的原因。

為什麼從分組次數表裡求不出精確的平均數？

因為分組這個動作本身就丟掉了原始數值。一組記作 20 到 30，裡面的數值可能聚在 21 附近，也可能聚在 29 附近，表格已經不知道是哪種情況。標準做法是假設每個值都落在它所在組的中點，這在平均意義上說得過去，但並不精確，所以分組平均數總是作為估計值來報告。同樣的局限，也讓眾數在分組資料裡只能是一組，而不是單一一個眾數。

辛普森悖論是什麼？

指的是每個子組裡都成立的趨勢，一旦把子組合併起來，結論卻反過來了。一種療法可能在輕症和重症裡的成功率都更高，合起來算整體成功率卻更低，因為各組的人數和病情比例相差很大。這個悖論提醒我們：混合族群算出來的平均數，不是其中任何一個個體的性質，而且把資料合併起來，還可能憑空造出一個哪部分資料都不支持的結論。

怎麼才算正確地比較兩組資料？

比較一個集中趨勢指標和一個離散程度指標，再說清楚每個數字在具體情境裡代表什麼。兩個班級測驗的平均數相同，但如果一個標準差是 3、另一個是 15，情況可能完全不同，因為標準差大的那個班裡，既有最好的學生也有最差的學生。只報平均數的比較，只回答了一半的問題，而且藏起來的正是那有意思的另一半。

平均數與離散程度

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更新 2026年11月2日

平均數是用一個數字代表一大堆數字，而這整個主題講的就是這種替代要付出什麼代價。兩組資料可以有相同的平均數，卻在其他方面毫無共同之處——這正是為什麼任何一句關於資料的正經陳述，都要同時給出集中趨勢和離散程度，也是為什麼單獨一個「平均數」，是統計學裡最悄無聲息、也最容易誤導人的說法。

該用哪種平均數？

數值分布比較均勻時用平均數，資料裡有離群值或者偏斜時用中位數，資料是分類別、沒有運算可做時用眾數。集中趨勢的度量把這個選擇變成一件要認真考慮的事。平均數是把各個值加起來，再除以個數。對於 4、5、5、6 和 30，平均數是 (4 + 5 + 5 + 6 + 30) ÷ 5 = 10，但中位數——排在中間的那個值——是 5，眾數——出現次數最多的值——也是 5。平均數之所以偏了，是因為那個較大的值 30 把總和拉高了，而中位數只取決於排列順序。數值個數是偶數時，中位數是中間兩個數的平均：對於 3、5、7 和 9，中位數是 (5 + 7) ÷ 2 = 6。平均數必定落在最小值和最大值之間。

$x ˉ = \frac{\sum \sum x}{n} = 3.8 x ~ = 4$

把數據從小到大排好後，中位數就是中間的那個值，所以它只取決於排名，不取決於大小——把x₅移到其他值之外也不會改變中位數

把最後一個值拖到最右邊

平均數把總數平均分給每一份，中位數和眾數講另外兩種平均數。

相加後均分：2 + 6 + 4 = 12，且 12 ÷ 3 = 4。此平均值稱為算術平均數。完整課程：平均數

薪水分別是 22、24、25、26 和 180（千元）：平均數是 55.4，中位數是 25。這間辦公室裡沒有一個人賺的錢接近 55.4，中位數才是老實的概括。

平均數是一個平衡點，中位數是一個計數點，這正是它們對離群值反應如此不同的原因。把最大值從 180 改成 1,800，平均數會猛地跳到將近 380；中位數卻紋絲不動，因為它只關心哪個值排在中間，不關心極端值離得有多遠。兩者沒有哪個總是「對」的——平均數可以還原成總數，所以發薪資總額要用平均數，而典型員工的水準不需要。

將6換成24，平均數會移至10，但中位數依然是4。完整課程：集中趨勢量數

從表格裡求平均數

同一個值反覆出現時，把它們全部列出來就太浪費了。次數表裡的平均數展示了這條捷徑：把每個值乘以它的次數，把這些乘積加起來，再除以總次數。中位數則來自次數的累計總數，看中間那一項落在哪裡。

平均數會將每個數值依其頻率加權：10場比賽共進19球，平均為1.9球。完整課程：次數分配表的平均數

分組資料更難處理，因為單個數值都不見了。分組資料的平均數假設每個值都落在它所在組的中點，這就讓答案成了一個估計值——一個誠實的估計值，也應該這樣標註出來。眾數組從另一邊講了同樣的道理：對分組資料，你能說出人數最多的那一組，卻說不出單獨一個眾數。

此處為 5 × 4 + 15 × 6 = 110，共有 10 個數值，因此估算平均數為 11。完整課程：分組資料的平均數

換你試試

哪一個平均數幾乎不會受到單一極小值的影響？

哪一個平均數幾乎不會受到單一極大值的影響？

為什麼只有平均數還不夠？

平均數給出資料的中心，卻完全沒說數值散布得有多開，而散布程度往往才是關鍵。離散程度的度量用兩組資料說明了這一點。看兩名球員三場比賽的得分：一人得了 9、10、11 分，另一人得了 1、10、19 分。兩人的平均數都是 10，因為 9 + 10 + 11 = 30，1 + 10 + 19 = 30。最簡單的離散程度指標是全距，也就是最大值減最小值。第一名球員的全距是 11 − 9 = 2，第二名是 19 − 1 = 18，所以第一名穩定得多。教練要挑一個靠得住的球員，看的正是離散程度。全距有個弱點：一個不尋常的值就能把它撐得很大，這正是為什麼常常改用四分位距。求全距之前先把資料排序，因為沒排序的清單會把最大值和最小值藏起來。

$\frac{20}{40} \Rightarrow \Rightarrow 20$

20/40 在這以下，所以這是中位數

在總數四分之一的高度橫著讀，再往下找到數值。

這些資料的平均數也是4，但它們的分散程度寬得多。完整課程：離散量數

全距和四分位距介紹了全距的修正方案。四分位距是上四分位數減去下四分位數，描述的是資料中間一半的散布，一個極端值碰不到它。

全距為 30 − 2 = 28。中間的一半資料為 22 − 14 = 8，即為四分位距。完整課程：全距與四分位距

百分位數把這個想法推廣開來：90% 的資料落在第 90 百分位數以下。四分位數其實就是第 25、第 50 和第 75 百分位數的舊稱，生長曲線圖、考試成績和回應時間指標，實際上都是用百分位數來報告的。

累積次數和四分位數

累積次數是計數的累計總和，把它對著每一組的上邊界畫出來，就得到一條 S 形曲線，能回答任何一個值「有多少筆資料低於它」。

逐項累加且曲線永不下降：3，接著 11，然後 17。完整課程：累積次數

從曲線上讀四分位數直接從曲線上讀出四分位數：沿縱軸走到總數的四分之一，橫著走到曲線上，再往下讀出數值。同樣的操作在二分之一和四分之三處，分別給出中位數和上四分位數。

40 的四分之一是 10。在 10 的位置向右對讀到曲線，再往下對應到軸上，這就是第一四分位數。完整課程：從曲線求出四分位數

把累積總數對著組的上邊界畫，絕不要對著中點畫。這條曲線畫的是「所有小於等於這個值的資料」，而這句話只有在組的上邊界才成立。對著中點畫，會讓整條曲線往左偏移，從它讀出的每一個四分位數都會偏差半個組距——而且這個錯誤從來不像個錯誤，因為曲線畫出來的形狀照樣看著合理。

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最低值為 4，最高值為 29。全距是多少？

測量數據分別為 14、18 與 23，其中包含一個極端值 48，試求其全距。

盒鬚圖看的是什麼？

盒鬚圖展示五個數：最小值、下四分位數、中位數、上四分位數和最大值。盒鬚圖把箱子從下四分位數畫到上四分位數，在箱子裡標出中位數，再從箱子兩端拉出鬚線，一直到最小值和最大值。對於資料 3、5、6、8、10、11 和 14，中位數是 8。下四分位數是下半部分 3、5、6 的中間值，也就是 5；上四分位數是 10、11、14 的中間值，也就是 11。箱子從 5 到 11，它的長度 11 − 5 = 6，就是四分位距。箱子裝著資料中間的一半。離群值——超出箱子一個半箱長以外的值——會單獨畫成一個叉。從左到右讀這五個數：它們必須是按順序排的。

$\frac{q _{3} - q _{1}}{max - min} = \frac{10}{40} = 0.25$

在任何跨度下中位數 − q1 = q3 − 中位數，所以對稱只是線索，從來不是證明

保持箱子兩半相等，並讓四個區間等寬。

$Q_{1} = 14.8, Q_{3} = 30.3, I QR = 15.5, Q_{3} + 1.5 I QR = 53.5$

盒子從 Q₁ 延伸到 Q₃，四分位距 IQR = 15.5，無論盒子變得多窄，它始終包含二十個值中的十個：盒子變窄是密度較高，而不是資料點變少

把中間十個值擠在一起，再把最大值推過柵欄

它由五個數繪製而成：最小值、第一四分位數、中位數、第三四分位數以及最大值。完整課程：盒鬚圖

它的價值在於比較。同一根軸上的兩個盒鬚圖，一眼就能看出哪組更高、哪組更穩定、哪組是不是偏斜——這三個問題用文字講要寫一整段。

從盒鬚圖判斷是否常態把這種讀法變成一個檢驗：對稱分布裡，中位數在箱子正中間，兩條鬚線長度相近，所以中位數偏向一端，或者一條鬚線特別長，都是偏態的證據。這一點以後很重要，因為好幾種統計方法要先假設對稱，才允許拿來用。

此處方盒的右半部是左半部的三倍，且右側的鬚也較長。完整課程：從盒鬚圖判斷常態性

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第 1 四分位數為 12，第 3 四分位數為 24。盒狀圖的四分位距是多少？

100個數值以盒鬚圖呈現。其中有多少個數值落在盒子內部？

標準差怎麼算，為什麼要這樣算？

求標準差，先求出每個值離平均數有多遠，把這些距離平方，求平方的平均數，再開平方根。標準差一步步把它搭出來。對於 2、4、4、4、5、5、7 和 9，平均數是 40 ÷ 8 = 5。離 5 的距離分別是 −3、−1、−1、−1、0、0、2 和 4，它們的平方加起來是 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32。平方的平均數是 32 ÷ 8 = 4，標準差就是它的平方根，2。之所以要平方，是因為平均數上下兩邊的距離總會抵消成 0，而平方永遠不會是負數。開平方根是為了把答案換回資料本身的單位。如果所有值都一樣，標準差就是 0。答案永遠不會比全距還大。

$\sum \sum (x - x ˉ) = 0, \frac{\sum \sum ∣ x - x ˉ ∣}{4} = 3$

對任何一組資料都有 Σ(x − x̄) = 0，所以在平均能量出什麼之前，符號就被去掉了

試著讓天平兩側的長度不同。

$σ σ^{2} = \frac{1}{5} \sum \sum (x_{i} - μ μ)^{2} = \frac{59.2}{5} = 11.84, (x_{5} - μ μ)^{2} = 31.4$

(x − μ)² = 31.4：距離變為2倍時，長條變為2倍，而平方變為4倍，所以一個遠的值會壓過好幾個近的值

拖動最後一個值，直到它的平方達到100

1、5與9的平均數相同，但分散程度大得多，因此標準差較大。完整課程：標準差

先說一個更溫和的近親。平均絕對差不平方，直接把距離取平均，用絕對值來阻止正負號互相抵消。它更好講，也確實有用——這就把一個自然的問題問得更尖銳了：既然這樣也行，為什麼還要平方？

它們與 5 的距離分別為 4、2、1 和 5。距離不帶正負號。完整課程：平均絕對離差

選擇平方，看重的是它在後續步驟裡能帶來什麼，而不是它對這批資料本身做了什麼。絕對值在代數運算裡很彆扭，它們在零點沒有導數，用它們搭出來的變異數也不能相加。平方偏差卻可以相加：幾個獨立量之和的變異數，等於它們各自變異數之和。正是這一條性質，撐起了常態分布、標準誤和假設檢定的整套體系，為此損失一點直觀上的可解釋性是值得的。

若直接相加會互相抵消為0。平方後則為4、0與4，不會互相抵消。完整課程：標準差：未分組資料

標準差：未分組資料用的是更實用的公式——平方的平均數減去平均數的平方——只用掃一遍資料就能得到同樣的答案，不用掃兩遍。標準差：分組資料把它推廣到次數表，用次數給每個平方值加權，對分組資料則用組中點，帶著和分組平均數一樣的估計值提醒。

換你試試

2、2、10、10 的標準差是多少？

平均數為 6，其中一項數值為 4。與平均數的距離平方為何？

怎麼老老實實地比較兩組資料？

要公平地比較兩組資料，每組都要給出一個集中趨勢指標和一個離散程度指標，兩組用同一對指標，再說清楚這些數字在資料背景下代表什麼。比較資料集練的正是這套結構。中位數要配四分位距，平均數要配標準差。假設兩個班考了同一場測驗。A 班的中位數是 62，四分位距是 10；B 班的中位數是 55，四分位距是 25。一個好的比較會說：A 班平均考得更高，高出 62 − 55 = 7 分，而且成績更穩定，因為它中間一半的分數只跨了 10 分，而不是 25 分。資料裡有離群值時，用中位數這一對，因為離群值幾乎撼動不了它們。一個比較列出四個數卻不下任何結論，等於什麼都沒回答，所以重讀一遍你寫的內容，確保每個數字都在講這兩個班的事。

$A : \frac{74}{110} = 67.3%, B : \frac{58}{110} = 52.7%$

A 兩行都贏，總體也 A% > B%，因為兩種組成相近

讓 A 在兩行都更好，而總體更差。

在相同量表上，B隊的中位數同樣為20，但其四分位距寬得多。完整課程：比較資料集

把兩對指標混著用——中位數配標準差——就是拿一個穩健的中心去配一個不穩健的離散度，離群值就會影響這段描述的一半。

還有一個陷阱，就算每一步算術都對，也照樣能落進去。辛普森悖論展示了這樣兩組資料：療法 A 在輕症和重症裡都勝過療法 B，合起來算整體卻輸了——因為兩組人數不一樣多，重症病例又不成比例地集中在某一種療法裡。算術本身沒有一處出錯。這一課講的是：混合族群算出來的平均數，不是其中任何一個人的性質。

將各列加總：A治癒110分之49，B治癒110分之83——45%對75%。完整課程：辛普森悖論

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兩個資料集的平均數皆為25，其中一個的離散程度小得多，哪一個更具穩定性？

兩個資料集的平均數皆為30，其中一個的離散程度小得多，哪一個更具穩定性？

值得點名的錯誤

把分組平均數當成精確值來報告。它是建立在中點假設上的估計值，要這樣說明。
求中位數之前忘了排序。沒排序的清單的中間，不是資料的中間。
把中位數和標準差配成一對。中位數配四分位距，平均數配標準差——要嘛整對都穩健，要嘛都不穩健，別各取一半。
把累積次數畫在組中點上。累計總數只在上邊界才成立。
只用集中趨勢比較兩組資料。平均數相等、散布不相等的時候，散布才是故事的全部。
因為礙事就刪掉一個離群值。在有記錄在案的理由懷疑它之前，離群值也是一個資料點。

接下來學什麼

這些概括是統計學其餘內容所用的詞彙表。統計圖表指南（英文）講的是它們所配的圖，包括累積次數曲線和直方圖。一旦每個研究對象帶著兩個測量值而不是一個，問題就變成它們是不是一起變動——見散布圖、相關與迴歸指南（英文）。而用樣本的平均數和標準差，去說一說你沒有測量過的母體，整個這件事就是抽樣與推論指南（英文）的主題。

輪到你了

三題試一試，點選作答。

4、7 和 10 的平均數

3、9 和 5 的中位數

12、4 和 9 的全距

常見問題

什麼時候該用中位數而不是平均數？: 只要資料裡有極端值或者拖著長尾，就該用中位數，因為平均數會被離群值拉著走，中位數不會。房價和收入是最典型的例子：少數幾個特別大的數值，把平均數拉到大多數人的實際水準之上，而中位數說的是排在中間的那戶人家。分布大致對稱、或者你需要求總數的時候，才用平均數，因為平均數乘以個數能還原出總和。
標準差到底量的是什麼？: 它量的是一個值到平均數的典型距離。先求出每個值到平均數的偏差，把它們平方，讓正負號不能互相抵消，再求平方的平均數，最後開平方根，回到原來的單位。標準差是 4 公分，意思是各個值平均離平均數大約 4 公分。它和資料的單位相同，這正是它被引用而不是變異數被引用的原因。
四分位距要怎麼求？: 把資料排序，求出中位數，再求下半部分的中位數和上半部分的中位數。這兩個就是下四分位數和上四分位數，四分位距等於上四分位數減去下四分位數。它描述的是資料中間一半的散布程度，完全不管兩端的極端值，這正是它總是和中位數搭配、而不是和平均數搭配的原因。
為什麼從分組次數表裡求不出精確的平均數？: 因為分組這個動作本身就丟掉了原始數值。一組記作 20 到 30，裡面的數值可能聚在 21 附近，也可能聚在 29 附近，表格已經不知道是哪種情況。標準做法是假設每個值都落在它所在組的中點，這在平均意義上說得過去，但並不精確，所以分組平均數總是作為估計值來報告。同樣的局限，也讓眾數在分組資料裡只能是一組，而不是單一一個眾數。
辛普森悖論是什麼？: 指的是每個子組裡都成立的趨勢，一旦把子組合併起來，結論卻反過來了。一種療法可能在輕症和重症裡的成功率都更高，合起來算整體成功率卻更低，因為各組的人數和病情比例相差很大。這個悖論提醒我們：混合族群算出來的平均數，不是其中任何一個個體的性質，而且把資料合併起來，還可能憑空造出一個哪部分資料都不支持的結論。
怎麼才算正確地比較兩組資料？: 比較一個集中趨勢指標和一個離散程度指標，再說清楚每個數字在具體情境裡代表什麼。兩個班級測驗的平均數相同，但如果一個標準差是 3、另一個是 15，情況可能完全不同，因為標準差大的那個班裡，既有最好的學生也有最差的學生。只報平均數的比較，只回答了一半的問題，而且藏起來的正是那有意思的另一半。

Mr. Chalk